LIVRE XL
Maintenant on a
Pour le faire voir, nous observerons que Ton a, q'^^^ et ^(*^ étant nuls
avec r,
q'(o)d^q'(i) q'iOd^q'(o)\ q'(o)dg'i*) q'i^^dq'i^^
Hq^^^^d^q^ qWd^q^\ q'i^^dg J \ dr dr I dr
dr
Le premier membre de cette équation devient, en y substituant pour -A — et — I — leurs valeurs qui résultent de l'équation difTérentielle en q\
/i^^J et n^*^ étant les valeurs de n relatives aux racines de l'équation (4) correspondantes à q'^^^ et q'^*K De plus, à la surface, on a
q'(o)dq'(^) q'(*)dq'(^^ dr d? ~ °'
car l'équation à la surface
donne les deux suivantes :
On a donc
o=fq'(o)q'(ndr{kn(^y'-kn(*y*).
De là il est aisé de voir que l'on a
A<^^fqHo)*dr=fdr.rq'(^^<f(r),
ce qui donne
A(o)- fdr.rq'(o)c^(r) - fq'^^>'dr '
les intégrales étant prises depuis r=o jusqu'à r=a. En changeant
q^^^ en q'^*\ q'^^\ ..., on aura les valeurs de A^*^ A^*^ ..., d'où l'on tire le théorème suivant :
Si l'on forme ta quantité
r S[q'^'^)^dr '
n^'^ n étant point nul et les intégrales étant prises depuis r nul jusqu'à r égal au rayon a de la sphère; si Von désigne ensuite par Q^'^ la somme de toutes les quantités correspondantes à 5 = 0, 5=1, ... jusqu'à s infinit l'expression de la chaleur V après un temps quelconque t sera la somme des valeurs de Q^'^ correspondantes à i = o, 1 = i , . . . jusqu'à i infini.
Dans le cas où l'état initial de la chaleur ne dépend que de r» U^'^ est nul lorsque i est égal à l'unité ou plus grand; l'expression de la chaleur se réduit alors à 0^**^ et l'on a le résultat intéressant que M. Fourier a donné le premier pour ce cas.
J'ai supposé l'état initial de la chaleur développé sous la forme U^®^-hU^*^4-...; ce développement est aussi naturel à admettre que tout autre. Il est facile d'ailleurs, par le procédé du n® 16 du Livre III, de donner cette forme à toute fonction rationnelle et entière des coordonnées orthogonales. On pourrait aisément, par l'analyse de ce Livre III, obtenir cette forme au moyen d'intégrales définies; mais, comme cela ne conduit à aucun résultat utile, nous nous abstiendrons de nous en occuper.
On aura ainsi égard à la partie de / de l'équation (2) qui est indépendante des fonctions périodiques du temps, et que nous avons exprimée par Y'^^^-hY'^'^-j- On a vu qu'il en résulte, dans la température finale, la chaleur
Il est facile d'en conclure, par l'analyse précédente, que, si. Ton forme
