LIVRE XI. 9t
la quantité
/i^'> n'étant point nul et les intégrales étant prises depuis r nul jusqu'à r égal au rayon a de la sphère ; si l'on désigne ensuite par Q^'^ la somme de toutes les quantités correspondantes à 5 = 0, 5=1, ... jusqu'à s infini, l'expression de la chaleur V après un temps quelconque sera la somme de toutes les valeurs de
correspondantes à « = o, 1 = 1, ... jusqu'à i infini.
J'ose espérer que les géomètres verront avec quelque intérêt cette nouvelle application de l'analyse par laquelle j'ai déterminé la figure des corps célestes et la loi de la pesanteur à leur surface.
10. Je vais maintenant considérer la diminution de la durée du jour, due au refroidissement de la Terre. Pour cela, je supposerai que la densité des couches terrestres croit de la surface au centre et que cependant leurs propriétés pour contenir et pour émettre la chaleur sont les mêmes que si elles étaient homogènes, en sorte que l'expression précédente de Y leur soit applicable. Je supposerai, de plus, ces couches fluides, ou du moins assez molles pour qu'elles prennent sans résistance la figure que la compression tend à leur donner. La masse de la couche dont p est la densité, dont r est le rayon et dr l'épaisseur à l'origine du temps / est proportionnelle à pr^dr. Après le temps /, elle sera proportionnelle à
(p 4- 4p)(r-h 4r)arf(r-h dr),
la caractéristique 2 servant à exprimer les variations relatives au
temps. En égalant ces deux expressions de la masse de la couche et négligeant le carré de S, on aura
Pour avoir la valeur de Sp, je supposerai que pour i degré centigrade de diminution dans la température, pris pour unité de température, la densité p de la couche augmente de ip, i étant une trës-petite fraction, que je supposerai la même à toutes les températures et pour toutes les couches terrestres. En exprimant par SY la diminution de la chaleur de la couche après le temps /, on aura
on aura donc et, en intégrant,
Maintenant, si Ton désigne par (p la vitesse angulaire de rotation de la Terre à Torigine du temps, la somme des aires décrites par toutes ses molécules pendant une unité de temps sera proportionnelle à fffpr*dr; sa variation sera donc proportionnelle à la variation
d<ffpr*dr-\-<ffipr*dr-\- ^^fpr^irdr-{- (ffpr^dir.
En substituant pour ^r et d^r leurs valeurs tirées des équations précédentes, cette variation devient
i^fp r^dr— 2 i (ff[ p rdrfdVr^ dr ) .
En égalant a zéro cette fonction, en vertu du principe de l'égalité des aires, on aura
^9 __ ^if{prdrfd\r^dr)
J'adopterai pour p l'expression la plus simple d'une densité variable.
