eu qu 1 m (1 — d
gente si l’on suppose x>0, m20, 1=a2z0,
mais ici nous laisserons de côté systématiquement les questions de convergence , sur lesquelles nous reviendrons dans une autre occasion.
Dans la suite nous aurons besoin d’un cas particulier de la formule (14), posons a—=0,m—2,
2 7 1”1:224,84,4 sé huÿfe-#*au=2x | tehue-zuqu = — TT Fr. La stetatet on bien % 1 1:35 5.5 0.1 —xu — J tebue Ne” PEN Lr: :::
ce qui peut s’écrire encore 1 6 D. 8.42,5
(L5) s : tghue**du — B+2— +28 + 2.5—
4. Nous chercherons maintenant le développement en fraction continue de l'intégrale
e— Tu qu.
® sinh (&u) sinh (bu) I=f c-———— Î sinh (c 4)
Il est clair d’abord qu'on a
sinh (au) sinh (bu) | ,5,4@ je @ AR bon M Los" Pistes" par" tet l’on reconnaît facilement que ax est un polynôme . du degré k en a, b°, c. On en déduit
D Jai -h+t tt.
et l’on pourra par conséquent développer I en fraction continue de la manière suivante a b PE UN ES PE 9e C’est ce développement que nous voulons obtenir. Voici une première observation dont nous aurons besoin. Lorsque a
sinh (au) sinh (cu)
est un multiple exact de c, a=nc, on sait que est un poly-
nôme du degré n — 1 en coshc, ou encore
sinh (au) sinh (cu) = « C08h (a — 1) cu + a’ cosh (n — 3) cu + a” cosh(n — 5)cu +.…..,
Pa
et il est très facile de conclure qu'en ce cas I est de la forme Q n P, étant un polynôme du degré n—1, Q, un polynôme du degré n en x. Ainsi dans ce cas on doit avoir u, —0 et la fraction continue est finie. Il est clair qu’il en est de même lorsque b=nc. D'après la formule (16) il s’agit de réduire en fraction continue la série
Pour cela on calculera d’abord is=s+s— + it.
et d’après ce que nous avons dit des az, il est clair qu’aussi 8, sera un polynôme homogène du degré k en a, b?, c?. Mais nous venons de voir que pour a— € ou b= 6? Bo, Bs, Pa, -.. S'annulent. Donc ,, Bs, Ba; sont tous divisibles par (c? — a?) (c? — b?) et d’ailleurs B, ne peut s’en distinguer que par un facteur constant.
En posant donc LS + Bi — rs on aura
LG +a— hr .…..,
8x étant encore du devré k en a, b?, c. Or d’après ce que nous avons dit &, 85, di, ..., doivent s’annuler pour a? = 4€? ou D = 46. Ces coefficients sont donc tous divisibles par (4c?— a?) (4c?— b?) et à, ne peut en différer que par un facteur constant. En posant donc
