S—% + à — d So, on aura

& étant encore homogène et du degré 4 en a, b?, c?.

Il est clair que l’on peut continuer ce raisonnement, pour arriver à ce résultat que dans la fraction continue (17) on a nécessairement (si l’on fait encore attention à la symétrie par rapport à a et b),

n = Dn € + Qn (a? + D?), jun = Tn(n?c? — a?) (n° c? — b?),

Pns ns Tn étant des quantités purement numériques. Pour les obtenir

je pose d’abord c—0, ce qui donne je, u ab r 4° b°? ra b°

MEET EEE TTC EE ETTE ENS

mais l'intégrale définie est égale à

3/ GE) u-— 1 e—?u du — 4 lé st ee Line eau,

"0 ‘0 et en développant les cosh suivant les puissances de # on trouve sans difficulté que la valeur de l'intégrale est

EE M El a as) b—2ab

4 log -

Or le développement en fraction continue de ce logarithme se déduit par un simple changement de lettres de celui bien connu de

xz+ 1 , : “ log Er et l’on obtient ainsi ab 4 H ae D — QE — D — ——P— ——b— par conséquent + Le 7. #7 4m —1

Pour obtenir p, posons a=b=1, c—2, il viendra

tghue-:" a ŒÆ= —— re ES | ‘ ” LC + 4po—2— À + 4p, —9— 2 + 4m —92—

et la comparaison avec la formule (15) donne 40 —2=2(2n +1), donc p, = 2n? + 2n + 1.

Il 26

Ainsi nous avons

+ sinh(au)sinh (bu) ,. ab Us 59 . © snhco ‘ PSATRE HE — Ê+2

ln = (Tr +2n + 1) € — a — b?, = cu (ni? ©? — a?) (n° © — b?).

À ce résultat j'’ajouterai le suivant qu'on obtient d’une manière analogue :

"MUR. : penis 6 à n° (19) . . | b Th Gu) © shdne 7 D sie : rè Ân —= 121% b? — a).

Pour a— 1, b—2, on obtient un résultat qu’on déduit aussi comme cas particulier de notre formule (14).

5. L'intégrale (19) peut s'exprimer à l’aide de la fonction d y (x) = dx [log T'(x)],

et il en est de même de l'intégrale (18) dans le cas particulier c =a +b.

Nous allons indiquer les résultats qu’on obtient ainsi, maïs pour abré-

ger, nous omettons la déduction qui, du reste, n'offre pas de difficultés. Considérons d’abord l’intégrale

r® sinh (26 nie. su du,

elle est égale à Ev(c+b)—4y(xz+1—b).

Le développement en série suivant les puissances descendantes de x est

+ ne an

On a introduit ici les polynômes de Bernoulli

Le développement en fraction continue est à és + - Le ee (n+1—2b)(n—1+2b)

in = Re

“4(2n—1)(2n Li) En second lieu l'intégrale

rs 2 sinh (bu) sinh (1 — b) u

- e—?zu du sinh «

‘0 est égale à Llv(+d)+v(z+1—b)—wy(x) —y(x +1)] Le développement en série est

__P106) __ p3() pb) Lg z* ea Es

et le développement en fraction continue

De +b(1—b) Pi di Ps Pa A

2H IH ÉFIF ÉFIF ETF

WE 2(2n— 1) :

os: 2(2n +1)

Si, dans la formule (20) on divise par b — } et qu’on pose ensuite

b— #4, il viendra, en écrivant

! As MEDEET 1 rer sr PR es L 1 KT (RSS scie cc: RASE + + FR — w

le développement en série est Le “Nr À 1\B F(a+4)= —(1— 4) a+) (1%) +

Où B,— #4, B = #5,... sont les nombres de Bernoulli.

On peut déduire de la formule (21) d'une façon analogue le résultat

mn RE 23 . AUX, —— —9%x— me 1 2 2 8) t(x+ np z+az+z+ztzr n(n+1) NT FES n(n +1} NES 4&n + 2 ?

le développement en série étant 1 58 5B 13 9B,

6. Nous allons considérer encore l'intégrale (24) . f(a,B,k) = / (sinh uw cosh u)* F (a, B, y, — sinhu)e-*"du.

désigne la série hypergéométrique. he série n’est convergente que tant que z est < 1 tandis que dans la formule (24) l'argument de la série hypergéométrique varie de 0 à — æ. Mais on sait que

(25) . . Falr—a=t+2 Far nr)

et un argument négatif est ainsi ramené à un argument positif et inférieur à l’unité. A la vérité il aurait fallu appliquer cette formule (25) dans l'expression (24), c’est simplement pour abréger l’écriture que nous ne l'avons pas fait.

Enfin dans le premier membre de (24) nous n'avons pas indiqué le paramètre y puisqu'il faudra supposer toujours