UT
Une intégration par parties donne
a -af(a, 8, = | (sinhu cosh u)* L.e-#* au,
L = k (cosh?u + sinh? u) F (a, B, y) — 72 sinh? u cosh u F (a +1,8+1,7+1),
le quatrième élément dans les séries hypergéométriques étant toujours — sinh? w.
On a d’autre part
O=y(7—1)F(a—1,8—1,7—1)—7y[7—1+(a+8—1)sinh?u]F (a, f, y) + + a B sinh? u cosh? u F(a+1,B+1,y+1), ou si l’on introduit la valeur y = #(a + 8 +1), (cosh® u + sinh? u) F (a, B,y)=F(a— 1, B— 1, y — 1) +
HARAS j 2 a +3 — 5) Sinb?u cosh uF(a+1,8+432,7+1).
À l’aide de cette relation on peut éliminer F (a, 8, ») de l'expression L, et l’on obtient ainsi cette relation
æf(a, B, k)=kf(a—1,B—1,k— 1) —
à apB(a (28) PER D (a 41, 84 2, & + 1)
Il faut supposer dans cette formule 4 > 0, elle reste encore exacte pour #—0,à condition de remplacer alors
EAU E =) par l'unité.
On obtient maintenant sans difficulté le développement en fraction continue + fa, B, 4) AS er Ge fa 181, ED) z+xz+zx+ 2:
et en particulier pour 4=0,
L A 2 L 2 Ps A reg à
1, =+@+n)B+n)n+Dm+a+s—1) "TO Gn+a+i-D@r+a+i+n
On pourra en déduire un grand nombre de formules plus particulières, dont quelques unes ont été obtenues déjà d’une autre façon.
(30) . [ Fta B, &(a+ B+1), — sinh? ul e—2%qu — "0
7. Soit en dernier lieu CS ee sinh?—! u cosh«+#-7u F (a, 8, y, — sinh?u) e—*" du,
les paramètres a, B, y étant arbitraires.
Une intégration par parties donne d’abord
‘a s où x | sinh? w coshuF (a, f,y)e-""du 1 sinh?—1#cosh#-1uLe-"" du,
L = (cosh°? u + gsinh?u) F(a, f, y) — 2 “ sinh? # cosh? u F(a + 1, 8 +-1, y + 1).
} Mais on a
[y—1+(a+8—1)sinhu]F(a, p,7,)=(y —1)F(a—1,p—1, 7 —1) + +"f sinh? w cosh? w F (a + 1, B+- 1, y + 1).
Or en introduisant les valeurs p=y—1, g=a+p—7y on a p cosh? w + q sinh? u — y — 1 + (a + B—1)sinh?u, donc
L=(;y—1)F(a—1,/—1,7—1)— “£ sinh? # cosh? #F (a + 1, 541, 7 +1),
d’où l’on conclut
(32) “ xf(a, P, y)=(7—1)f(a—1,6—1, 7) “É a+ LL 7)
et si l’on pose ET SE PRE p ( HINFENQrÉITELL 20 va B,y)=———— l à Ke PER x+apota+T + hr +)
en sorte qu’on obtient le développement en fraction continue
(59) Fa, B, 7) __. 1 a8 (a+1)(8+1) «+2)(8+2) (—1)f(a—1,8—1,y—1) z+x+ x ie 2 ne.
Le rapport f(a, B, 7)
