b—=-—; bn — ; a; An An

la fraction continue (I) peut s’écrire

is à re b Z En ne S 1+ 2 B 2 + 3 5 . z + :

et pour {z—=1 bit dE Bi APN T bst LES EE A l’aide de l'identité PAS. ee RL à b b, LÀ os la fraction continue (I*) pourra se transformer en (I°) b ne

la nème réduite de (I°) est identique avec là 2nm réduite de (1) ou de (12). Cette fraction (1°) est de la forme

(Id) : d

2 + ao — le A ch Eu LES z+a—., LA

avec des valeurs positives des À;, ai. Cette forme (Ié) se rencontre assez souvent; dès lors, il y a de l'intérêt à savoir si elle peut se mettre sous

la forme (I) avec des valeurs positives des b;, en sorte que nos théorèmes soient applicables. En identifiant on a bo = do; b =, bb, bo + 03 = 0, b3b =) db, +b; = ay,

AR PER AS, MEL PP | ARE PR D DEN MER at,

d'où l’on tire successivement b,, b,, b,..., et généralement An Dos = 2n us 2:

. Un 1° LA L "

puis ban-1— Àn : ban. :

Cependant, il peut arriver que le calcul de ces b; devienne compliqué et, puisqu'il s’agit seulement de savoir si ces quantités sont toutes positives ou non, on pourra quelquefois avec avantage se servir de la proposition suivante.

Les quantités b; sont certainement toutes positives si l’on peut trouver une fonction positive de n, P,(P, — 0), telle que

Pi < an n—1,2,3,..)),

An a" An TT P, n à Pn +.

À M À | En effet, b, — + est positif et ne surpasse pas ——1-<P,. Or, si 7 P P P a = 2

bin—2 est compris entre 0 et P,, on en conclura à cause de

que b2, est positif, plus petit que S Pn+1.

LÉ Péerrne

Donc on aura généralement

0 € bon = P, +1) et puis bon 1 = ÀÂn : ben est aussi positif.

En particulier les b; sont tous positifs dans les deux cas suivants: 1° Lorsque a, 2 1 +4,, puisque la proposition énoncée s'applique alors en prenant P, = 1; 2° Lorsque a, +1 2 1 + 4, il suffit alors de prendre P, — 1, 1.

Considérons, par exemple, la fraction continue étudiée par Laguerre qui est de la forme (I4) avec les valeurs suivantes des coefficients A5 = 1, An =n (n = 1), An =2n— 1.

Le calcul des b, n'offre ici aucune difficulté et l’on trouve

be, Daus1= Dee (nZ=1), puis Cèn-1==1, "E

Laguerre, en supposant z réel positif, a montré que la fraction continue est convergente et égale à

ve—“qdu l'eru . Il résulte maintenant de notre théorie que cette proposition s'étend à toutes les valeurs réelles ou imaginaires de z, en faisant exception pour les valeurs réelles et négatives.

Considérons, en second lieu, la fraction continue que nous avons rencontrée dans ces Annales, t. III, et qui est encore de la forme 4, abstraction faite du changement de z en z?. On a

== 1; An=(2n—1)(2n) (2n+1)4, an=(2n—1}(1+ 45), 2 étant une quantité positive. Le calcul des b; se complique ici. Mais si l’on prend

n —1 ñn ET es M | + l'inégalité he > An Py Pn +1 se réduit à 46£ (+),

et se trouve donc satisfaite. La fraction continue considérée appartient donc encore au type que nous avons/étudié.