CHAPITRE L
ÉTUDE DES POLYNOMES P;h(2), Qn (2).
1. Considérons une suite de nombres N, N,, N,, ..., liés par les relations N—aN; +N:, N, = G9 No + No)
Nr =axNx + Nr.
On pourra exprimer successivement N par N, et N,, par N, et N;, par N, et N,, etc.
N— (aa +1) N +aN = (Gas + + a) N3 + (a +DN, =... Introduisons un symbole Lo, 0, 26, 0x déterminé par les relations
[a]= a, [a , &œ]—=@ a +1, Cu, ao, ..., ax] = Ta, do, .., ax—1]@x +[a, a, ..., ax],
on aura
Re r : N—=f{a,æ&,..., ax] Nx+[a, @,...,a@r—1]Nx+1.
Il est clair que N, Nx, Nx+, sont liés par une relation linéaire et homogène. Il est facile d'obtenir cette relation. Multiplions (2) par ax+1 et remplaçons ax+1 Nx+1 par Nx— Nx+e, On aura
Cax+iI]N =, do, ..., ax+i]Ne—[@, G2,..., ax 1] Nx+s; multiplions par a;42 et ajoutons, membre à membre, à (2), il vient [ax+1, ax+o]N =(a,@,...,ar+e]Nx<+[a,@,...,ax-1]Nx+s, et il est clair qu'on aura généralement
(8) . [ax+i, ax+e,..., ax+i1]N = = (a, @,..., Gx+ii]Na + (1) Te, @,..., 41] Nx+r
De là, nous allons déduire une identité dont nous aurons besoin dans la suite. En remplaçant % par a,l par B+y+1,ona CR Ce
—[a,, is Ga+p+y] Na q ZA oo 1)6+7 La; , ENS aa1INa+p+y+r
D'autre part, en éliminant N,},4, entre les formules CPAS 2 Aa +p] N = (ai, Aa +8] Ne à sé 1f La, RU CHRS Na +p+1»
Lau +p+e ; .) Ta+p+r] N —= (a, er da+p+rINa+g+1 +t- 1) Fa... a + p]Notptytts
on obtient la relation entre N, N,, N,:#+,+1 sous la forme
AN... da pli Es. du + p+yINa+(— 1) +7Ca, APPLE ES ie où A=[a,...,448+;] X [acts da+p] + (— DÉF'Ce,..., 001] X Tao+g+es +.» Ca+p+r) La comparaison de (4) et (5) montre qu’on a identiquement A—T[a;,...,da+p8] X [aoyi1s 5 da+g+yk Nous avons donc cette relation (A) . . Lu... , dat g4) X Tous cs dal = —[a,...,d4+8] X Lacyi,..., dagp+)] dt 1e, ..; du 1] X Lrarp+2) “….) da+B+y} Il est utile de noter certains cas particuliers. Pour B—0,ona (B) [a,, cs duty] =, +, Ga] X X [aupise- dry] + lu: 01) Ness) rh et pour a=my=1À, (C) [u,.….,agro]X{00,..., ag] =, ag+1]XTa0 +. ag+2]+(— 1). Pour y—1, la relation (B) reproduit la loi de récurrence (1); pour a= 1, il vient (6) . . : [e,...,4:J=ate, 0, FPT: 040 On en conclut facilement
RECHERCHES SUR LES FRACTIONS CONTINUES. 409 tandis que, d’après (1),
Las... au] 2 1 PRES ca ee 2 1 PE
D'après ce qui précède, cette dernière fraction continue est aussi
égale à (ox, ...,æ] , d'où il est facile de conclure (431,100
Cie der Lai, do, ..., ax] =(@x, Ax-1, ..., &]
Il est clair que le symbole [a,,..., ax, ..., an] est linéaire par rapport à un quelconque des éléments ax et, à l’aide de (B), on trouve facilement RSR < [a,,...,ax]=[{m,...,06-1] X[axp1,..., anjax+@,
où est indépendant de a, et peut se mettre sous les formes
R ee [7., ‘és ŒR— 1) 0,ax+1;, .. Gx}=Ta;, ….,4k 2,4k 1 + @x+1; AK42) An). Enfin, on s'assure encore facilement des relations suivantes, où m est un nombre quelconque,
on
Q O7 bd, mas, m° …., MAIN —-1; Hal Ça, do; D .,) Aon]»
ma, m° mas; m° de ) MAIn—1; m° masn+i|= m X[a, as +.) ln+1].
2, Il est clair, d'après ce qui précède, que les numérateurs et les dénominateurs des réduites de notre fraction continue s’expriment de la façon suivante à l’aide du symbole [a,, ..., a,] que nous avons introduit
Pan (2) =[@, 32, lys s..3 Aon—12) on];
Qun(2) = [a 2, do, 452,..., Go], Pon+1(2) ={@o, 432, @,..., on, Uan+12], Qan+1 (@) = [a 2, do, +.., Aan+1 8]
Nous désignerons par P#(2), QÉ(a) ce que deviennent P,(2), Q,(2) lorsqu'on remplace partout «; par ai, Les formules du n°1 donneront ainsi des relations identiques entre ces polynomes en changeant a; en a;z, lorsque à est impair. On a ainsi les formules
Qon (9 = An Qon—1 (2) + Qon—2 (2), Qon+1 (2) = dant: 2 Qan (2) + Qon—1 (2).
On s'aperçoit facilement qu'on a généralement pee : +187, Qu (2) = Bo + B2 +... + Bnz”, Pon +1 (2) Ted :
Qan+1( = D+Dez+...+Dir12z"+t!,
les coefficients étant des polynomes des a;. La loi générale de ces coefficients est un peu compliquée; elle ne nous serait d’ailleurs d'aucune utilité, mais on reconnaît facilement les quelques expressions suivantes qui nous seront utiles.
