PR A
An-2 = An ( SUN }»
do As j at. He :
Bo — 1,
Bn1= Bn( ———) s a; a Go +. MT ; Bn—= Age. *Aon); Ci,
=D (@+a+...+ aa) ax +1,
n — = Ca ):
€ Le + at. Le
Cu = de dir An +
Da +as+...+aent+1,
1 1 1 Du = Du ( at mat a
Dy +1 —= 0; Us « . Aon+i.
A cause de la relation identique
Qon (2) Pon +1(2) — Pan (2) Qon+1(2) =1, on a
Bi + Ci = do Di.
8. Nous allons établir maintenant quelques propositions sur les racines des équations qu’on obtient en annulant les polynomes P et Q. Les polynomes P, du reste, ne diffèrent pas essentiellement des polynomes Q, et nous insisterons surtout sur ces derniers. Dans la relation (A) du n° 1, posons
a—=2n—3, HA, =, il viendra, en changeant toujours a; en a;z lorsque à est impair, aan—2 Qon(2) =[a2n-2, don—1 2, Aan] Qan—2(2) — Son Qan—4 (2); on voit que
Qon (2), Qon—2(2), Qon-4 (2)... (2), Q (2) = 1 forment une suite de Sturm. Pour z2—— %, cette suite présente n variations de signe, pour 2—0 il n’y a aucune variation. On en conclut que les n racines de Qan (2) = 0,
sont réelles, inégales, négatives et séparées par celles de Q2,-2(2) = 0. Lorsque z passe en croissant par une racine de Q2,(2) —0, le rapport Qun—2 (2) : Qan(e) saute de — — oo à + wo.
Posons maintenant dans la relation (A),
on aura 2n +1 (2 2n —1(2 2n —3 (2) on 1 Mse+1® LT ÜUonZ,; on PL EP Re n 3). Z Z Z
Qun+1(2) Qan-1(@) Q; (2)
forment une suite de Sturm. Les n racines de Qz n+1 (2) —0 / Il e 4 L e Q2 n — 1 (2) PL Se sont réelles, inégales, négatives et séparées par celles de 7 —0. Le rapport Qon 1 (2) : Qon+1 (2) saute toujours de — « à + w. Prenons maintenant
on aura
Agn—1 Q2n (2) 2 [Nes -1 2, aan] das: (2) he: Sans (2), L donc
QG, 310 0e es
se = 4 2 ’ 2 ? ? 1
forment une suite de Sturm: les racines de Q2, (2) = 0 sont séparées
par celles de — 0. Posons enfin
a—=2n— 1, p=1, Y=t, il viendra
don Qun +1 (2) = lts, on +1 2] Qaon (2) SE : Qan—2 (2);
donc Qon+1(2), Qan (2); Qun—2(2), ..., @(2), Va) =1
forment une suite de Sturm. Les racines de Q:, 41 (2) = 0 sont séparées par celles de Q2,(z) = 0.
Nous venons de voir que les racines de
Qon—1 (2)
2 —={[da,,@&2, App. Uan—28, Gan—1]=0
séparent les racines de Qen (2) =[a, A2, Ag5e.., Aon—1» Agn 2] = 0.
Donc aussi les racines de [aon, Gon—12, an—2, ..., A32, Oo] = 0 sépareront les racines de [aon, on—12s Aon—93..., Us 2, A, d; s]=9,
‘ce qui revient à dire que les racines de P2, (2) = 0 séparent les racines de Qan(z) = 0.
De même, on verra que la proposition que les racines de Q:,(z)= 0 séparent les racines de Q:,+1(2) —0 ne diffère pas au fond de celle-ci : les racines de P,41(2) = 0 séparent les racines de Qoy41(2) = 0.
Il résulte de là que dans les décompositions en fractions simples Pon (2) RS M, M; M, Qou(z) PE TERRE lo TER te No LM N: .
Qt) 8 Fat later tipo les quantités M;, N; sont toutes positives. (Il va sans dire que les x, ne sont pas les mêmes dans les deux formules.)
4. Les racines de l'équation Q, (x) —0 sont évidemment des fonctions des » premiers nombres ai. Peut-il arriver cependant qu’une telle racine ne dépende point d’un de ces a;? C’est ce que nous allons examiner, On a d’après la formule (B) du n° 1, en employant la notation que nous avons expliquée au commencement du n° 2,
(1) : . . Quupon (2) —Qon(2) Q2%(2) + Qon-1(2) P37(2), D Qon+tan +1(2)= Qon (2) Q5n+ 1 (2) + Qon 1 (2) PS4 1 (2).
Nous savons que les deux polynomes Q,(2:), P,(z) ne s’annulent jamais pour une même valeur de z, de même Q,(z:) et Qu 1(2) Cela étant, il est facile de conclure de la formule (1):
Si æ—=a annule deux des fonctions Qou+u»(2), Qan (2), P27(2), cette valeur x — a annulera aussi la troisième de ces fonctions.
Si x = a annule deux des fonctions Q2h+an (2), Qan—1 (2), Q2(2) cette valeur x —a« annulera aussi la troisième de ces fonctions.
Dans le second membre de (1), c'est le polynome Q2%(2) seul qui dépend de a:»4+1; en mettant en évidence ce coefficient, il vient
(8) . . . . Qon+on (2 — aant12 Qon(2) P57(2) +R (2), où R(2) est un polynome qui ne dépend point de a2»+1. Il est clair maintenant que les racines de Q:»+2»(2) = 0 qui ne dépendent point de a2h+1 doivent satisfaire aux équations Qu (2) P5n (2) = 0, R (2) = 0.
Une telle racine doit donc annuler l’un des deux polynomes Q», (2), P5% (2), mais, d’après ce qu’on vient de voir, elle annule alors aussi l’autre. Réciproquement, une valeur 2— à qui annule Q:, (2) et P2"(2)
annulera aussi Qon+9%(2) d'après la formule (1), puis aussi R(2) d’après la formule (3), et sera par conséquent une racine de Qo»+2» (2) —0 qui est indépendante de as»+1. Ainsi les racines de Q2:,+9% (2) — 0 qui sont indépendantes de a,+1 coïncident avec les racines communes des deux équations
Qen (2) =0, P5n (2) = 0.
Et il est clair que ces équations peuvent, en effet, avoir des racines communes, car Ja première ne dépend que des paramètres à,,@,..., G3s) la seconde des paramètres aon+o, @on+3,..., äon+on. Mais on voit aussi qu'en général, c’est-à-dire lorsque les a; ne satisfont pas à certaines conditions particulières, ces racines n’existent pas.
On établira de la même façon que les racines de Qoy+9» (2) —0 qui sont indépendantes de a, coïncident avec les racines communes des deux équations
Quon—1(2) = 0, 2m(2) = 0.
La formule (2) donne lieu à des conclusions analogues qu’il suffira d’énoncer.
Les racines de Qen+9»w +1(2) —0 qui sont indépendantes de a», coïncident avec les racines communes des deux équations
Qen—1(2)==0, Q5n 1 (2) = 0.
Les racines de Qsy+9w +1(2) —0 qui sont indépendantes de ao»+1 coïncident avec les racines communes des deux équations
Qon (2) —0, Po +1 (e) = 0.
5. Nous allons établir maintenant les propositions suivantes qui
complètent celles obtenues au n°8.
Les racines de Q:»+9» (2) —0 sont séparées par celles de
Qon (2) Pin (a) = 0, et également par celles de
Qon—1 (2) Q5% (2) : z — 0.
Les racines de Q:»19» +1(2) : z—0 sont séparées par celles de
Qan—1 (2) Q5n+1(e) : 2 = 0.
Les racines de Qo»+2» +1(2) — 0 sont séparées par celles de
Q2n (2) Pin: (2) = 0.
Pour #/—0 ou —1 on retrouve les propositions du n° 8.
Il suffira de développer la démonstration de la première proposition Reprenons la relation
Qan+an (2) = Qun (2) Q5n(2) + Qun1 (2) Psn (2), et désignons les racines de Q2, (2) —0 rangées par ordre de grandeur croissante par PAOCNe L'd ...:
de même les racines de P5%(:)—0 par
