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et l’ensemble des racines a et B par
RE EE PE OP QE SE NE E Cela étant, la proposition énoncée revient à ceci: la suite des quantités Qon+an (Xi) G=0;:1,9,8,:..,18-h8),
Où %y—=— © et Xn+n —0, ne présente que des variations de signe. D'abord Qo»+9» (%) a le signe de (— 1}"+*'; quant à Q:»+9% (x) deux cas sont à distinguer selon qu'on a x, —a ou æ, =. Dans le premier cas,
Qan+an (ti) = Qan—1 (a) Ps (a); dans le second cas,
Qon+an (ti) = Q2n (8) Q5» (B).
Or, on voit facilement que dans le premier cas Q:»-:1 (a) a le signe de (— 1)" et P5% (a) le signe de (— 1)"+1, car a est plus petit que la plus petite racine de Q2,-1(2) —0 et aussi plus petit que £.
Dans le second cas, on voit de même que Q2, (8) a le signe de (—1}",
2x (8) le signe de (—1)"+1, car 8 est compris dans l'intervalle des
deux plus petites racines de Q?" (2) = 0. On voit que, dans tous les cas, Qoa+an (ti) a le signe de (—1}"+"+1; ainsi Qon+on (0), Qon+on (ti) présentent une variation.
Supposons maintenant que, dans la suite des x;, deux racines consécutives zx et æx41 soient des racines a. On aura
Qenian (tx) —Qon-1(a) P5% (a), Qon+on (Zx +1) = Qan—1(a’) P5x (a).
Or, a et a' étant deux racines consécutives de Q2, (2) —=0 comprennent une racine et une seule de Qs»1(2)—0: donc Qon 1(a) et Qan—1(a") ont des signes contraires.
D'autre part, entre a et a! il n'y a par hypothèse aucune racine $ de P2"(:)—0. Donc P?%(a) et P5 (a) ont même signe, et il s'ensuit que Qon+on (tx) Et Qan+on (Tx+1) présentent encore une variation Dans
le cas où tx = BP, %x+1 =", on aura
Qon+2n (tx) —= Q: n (B) Q2? (B), Qon+on (tx+1) = Qon (8) Q$n (B')-
Qen (B') et Qon(B') ont même signe, Q5% (8) et Q5% (8) ont des signes contraires ; Qon2n (Tx) Et Qan+2n (Tx+1) présentent encore une variation.
On arrive à la même conclusion dans les deux cas qui restent à discuter, 2 —a,%rsi = et tx —=B,æ%ry1—=a; dans le premier cas
Qan+on (tx) = Qan-1 (a) Pix (a), Qon+on (Tx+1i = Q2n (8) Q25% (Bj.
Qen 1 ():z a par rapport à Q2, (2) les propriétés de la dérivée Q;, (2); ensuite Q», (8) a le signe de Qon(a + &), Qan—1 (a) le signe de Qs»1(a+-e) (e positif très petit). |
On en conciut aisément que le rapport Q2»1 (a) : Q2n (8) est négatif. Ensuite P2" (2) a par rapport à Q2" (2) les propriétés de la dérivée; P2" (a) a le signe de P2"(8— +); Q2% (8) le signe de Q5n(8—:). Le rapport P2% (a): Q3% (8) a donc le signe de
PSN (B— +): Qu (B—E),
et ce signe est +, si l’on remarque que £ est une racine de P?"(2) —0 qui est comprise entre deux racines consécutives de Q5”(:)—0. Ainsi Qen+an (Zx), Qon+an (Zx+1) présentent encore une variation.
Enfin, si l’on a
Qon+2n (Tx) —= Q2n (8) an (8), Qon+2n (Tx+1) = Qen-1 (a) P5% (a),
on constate que Q», (8) : Qon 1 (a) est positif, puis Q5% (8): P5%(a) est négatif.
Les n + n' premiers termes de la suite
Qon+an (Ti) (=0, 1,2,...,12+9n
ne présentent donc que des variations et l’avant-dernier terme est donc négatif, tandis que le dernier terme est positif. La proposition énoncée se trouve ainsi établie.
Nous avons supposé dans ce raisonnement qu'aucune racine a n’est égale à une racine £. C’est ce qui arrive en général, mais la nature même de la proposition montre qu’il peut en être autrement dans des cas exceptionnels. En effet, d’après notre proposition, chacun des n + n! — 1 intervalles formés par les racines de
Qou+2n (2) =0,
renferme une racine a ou bien une racine 8. Mais on ne saurait dire a priori quels sont les intervalles qui renferment une racine a et quels sont ceux qui contiennent une racine 8. En effet, cette distribution des racines a et B dans les différents intervalles varie d’un cas à l’autre selon les valeurs des ai.
Les coefficients a; variant d'une façon continue (tout en restant positifs), il doit donc arriver des cas exceptionnels, au moment où la distribution des racines a et 8 dans les intervalles subit un changement. Et il est clair que cela ne peut arriver que de la façon suivante: deux intervalles consécutifs renfermant le premier une racine a, le second une racine B, la racine a peut passer dans le second intervalle, tandis qu'en même temps la racine B entre dans le premier intervalle. Au
moment critique, les racines a et £ sont confondues avec une racine de
Qon+2n (2) = 0.
C’est, on le voit, le cas exceptionnel étudié au n° 4.
6. Nous pouvons établir maintenant, très facilement, la proposition suivante. Soit x; une racine de
Qù (2) = 0.
0 n La } e L4 xx peut être considérée comme une fonction de a; et la dérivée par-
tielle ù XX
d di
ne peut jamais être négative.
Pour la démonstration, il faut distinguer quatre cas selon la parité de n et de i: il suffira de développer le raisonnement dans un seul cas. Supposons
Qou+on (Tr) = Aon+1 Lx Qon (tx) Pin (tx) + R (xx) = 0, d’où dax Tr Qan(ax) Porta) Ô Gon+1 Qon+on (tx)
Or, nous avons démontré que Q2,(2)P2%(2) a par rapport à Q2n4ow (2) les propriétés de la dérivée ; donc
Qn (tx) PS n (tx) Qon+an! (Zx)
est positif et, puisque x, n’est pas positif, la propriété énoncée se trouve démontrée dans le cas de n pair, i impair. Exceptionnellement, la dérivée peut être nulle.
