La formule

Pic Ti D Qn+1(2) re (2) — M) Qn111(0)"

Où Qu (2) Qn+1(2) est un polynome du degré n + 1, montre qu’en développant les réduites

Pn(e), Pn+1(e) Qn (2) Qn+1 (2) (2)°

suivant les puissances descendantes de 2, les n premiers termes de ces

développements sont les mêmes. En écrivant

Ph o Cn—1 a CRE Re ee PC a

on définira donc une suite de quantités Co) Ci; Co, C3)

qui sont parfaitement déterminées et qu’on pourra prolonger aussi loin que l’on voudra. Les c; sont évidemment des fonctions rationnelles des a;, et, si l’on introduit les b; (voir l’Introduction), les c; sont des polynomes à coefficients entiers et positifs des bi.

La manière la plus élégante pour obtenir les expressions des c; par les b; nous paraît être la suivante, que nous avons obtenue dans le Mémoire publié dans le tome III de ces Annales.

On calcule d’abord les quantités a;x, Bi,x par les formules

doi |, aio—0 lorsque i > 0;

Bo,k == a0,x + bo a1,r, Bi,x = à1,x + da ar, Bar = a0,k + b6a3x,

Bix = aix + boitoaitix;

Go,k+1—=01P0,k, a1,k+1 = 03 B1,x + Box, Q9,k+1 = 05 Bo,x + Pix,

Qi,k+1 = Doit Bik + Bi-1n

Il en résulte qu’on a a; = fix —0 lorsque i > 4. Les expressions a;x, Pix obtenues, on peut calculer un coefficient c, P 9 , ’ P quelconque de plusieurs manières par l’une ou l’autre des formules

Cigk —boaoiao,x —+bobibaaisaix +bobib2bsbaasiasx +..., Ci+k+1— Vo b1 Po,i Bo,x + do 1 D ds Bi, à Ba, x + bo d1 be Ds ba Ds Bo, i Ba,x +...

Les coefficients c, étant définis, nous considérons la série infinie

et nous dirons que c’est là le développement de la fraction continue suivant les puissances descendantes de z. C’est une définition purement formelle; nous verrons bientôt que la série est souvent divergente quelle que soit la valeur de z: aussi ne faut-il l’envisager pour le moment que sous le point de vue purement formel.

Les c, sont des fonctions rationnelles des a,; nous donnerons un peu plus loin les formules qui expriment réciproquement les 4, au moyen des c» À l’aide de ces formules, on pourra donc réduire formellement une série procédant suivant les puissances descendantes de z en une fraction continue.

8 Ona

P, (2) 1 1 (— 1}: —1 M) QUE) Gate) TT Qi) Qi)

et, en développant suivant les puissances descendantes de z les termes du second membre:

din en sque à (a Q (2) 2° 1 No € «À TAG rte AT Mn 7 NUS JT di jidiene re gr ep À 7 QQ() spi" Pat 1 ne .

Fa LP liée

En ajoutant les n premières séries, on obtient le développement de

Pa (2). ee Q () Or, si l’on remarque que

Qn—1(2)Qn(2)=cz(2+x)(2 +2)... (2 + an 5),

OÙ C, Li Loy 3 An—1 SOnt des nombres positifs, on voit facilement que tous les coefficients sf, sont positifs, et l’on en conclut que, dans le développement (1) de

Pa (2),

Qn (2) les n premiers coefficients &, c,...,cn 1 sont positifs, et que les coefficients suivants a’, a, an, ... Sont plus petits que c», Cn+1,

Cn+2, ... respectivement.

On peut obtenir le développement d’une réduite en la décomposant d’abord en fractions simples. Posons, comme au n°3,

Pon PER oi PE Fhe For ty

on en conclura

n " = D Mizi [k=0,1,2,...(2n—1)]

Ensuite, en considérant une réduite d'ordre impair

Pon+1 (2) No N; N: CNy Qui) — 8 Tata en

= D Nix? (k—=0,1,2, ..,2n)(xo=0),

ces expressions donnent lieu à la conséquence suivante: La forme quadratique

Di, D CotitaXiXx

est une forme définie et positive, en sorte que le déterminant

Cp Cp+1 Cp+2 +. Cp+m—1 Cp+1 Cp+2 Cp+8 +. Cp+m Cp+tm—1 CE CCR .. Cp+2m—2

est positif.

En effet, si nous prenons un nombre # tel que

il est clair que la forme quadratique considérée peut s’écrire

D Mix? (No + Xiti + KR +... Xn 1a Ip,