SALES

pa + * est toujours divergente; ou bien ce rapport tend vers une limite finie 14, et alors la série est convergente pour |z2| > 2.

D'autre part, nous savons que la plus grande racine de

| Qn(— 2) =0

croît aussi avec n. Nous allons montrer que, dans le premier cas, cette racine croît aussi au delà de toute limite, et, dans le second cas, elle tend vers la limite 1.

Posons, sans distinguer les valeurs paires ou impaires de n

Ph (2) M “ha fn 2 + x?

! sens UT .

n'=; ou) et %» Étant la plus grande racine, on aura LA > mia Cn— 1 = — < Zn.

Cn —2 = LS: e ) Mit;

: croît au delà de toute limite, il en sera de même de x,

Donc, si "+

n Mais supposons lim +1 — }; n la limite de x, ne pourra pas être < 1: je dis qu’elle est égale à 1. Pour cela, il suffira de montrer que x, ne peut pas devenir plus grand que À. Supposons en effet æ» —1+e, e étant positif, et considérons

les deux séries

@) DR 4 pepe fet (ip Et pre.

Nous savons que la série (2) est convergente pour |2| > x» —=1+e, mais divergente pour |2|<x,, et donc en particulier pour

Cn +1 . | — À, la série (1) est convergente pour |2! > 1 et, puisqu'on à a <Cn, 4h41 < Cn+1,-.., la Série (2) sera aussi conver-

gente pour les mêmes valeurs de z et, en particulier, pour

La même série (2) serait donc en même temps convergente et divergente pour 1<\2,< 14e. Cette contradiction montre que la supposition que +, peut croître au delà de À est inadmissible et l’on a bien

im Try — 1 C. Q. FD.

10. Mais la fraction continue étant donnée, comment peut-on reconnaître Si Cn+1:€n croît au delà de toute limite ou tend vers une limite finie? La réponse est très simple. Considérons les nombres

EVE de, (n=1,2,8,...)

si ces nombres ne sont pas limités supérieurement, Cy +1: Cn Croîtra au delà de toute limite. Mais, si ces nombres ont une limite supéri. eure /, le rapport c, +1 : c, tendra vers une limite finie qui ne peut pas surpasser 4},

Les nombres b, n’ayant pas de limite supérieure, cela veut dire, quelque grand que soit un nombre M, on pourra trouver toujours un entier m tel que

bn = —— > M, " Am Em +1 7

Posons, selon le cas, m—2n ou m—2n + 1, et rangeons par ordre de grandeur croissante les racines des équations

Qen(—2)—=0, Qonr2(— 2) —=0, en les désignant par

di; Oo ;, .. An)

UE LEE .…. Bn+1»

ou aura, d’après le n° 2,

Mat... +ar —=d+b+...+bon-:, Bi + Bo +... + Pn+1 = D, + bo +... + bons, d’où l’on conclut Bn+1— (an — Bn) —(an1 — Bn—1) —... — (à — 8) = dan + dan +1.

Les différences a —f,,...,a»— f\ étant positives, il est clair que

Pn +1 > ban + ban+1 > M.

On voit donc que la plus grande racine de Q2:,(— 2) —0, et, par conséquent, aussi le rapport c, +1 : c,, croît au delà de toute limite.

Si les nombres b,, b;, b,,... ont une limite supérieure 7, choisissons un nombre C tel que C! > b, et considérons la fraction continue C1 a+ -"— PTE ia

Les c, étant des polynomes à coefficients positifs des b,, il est clair que si l’on réduit en série cette fraction continue, les coefficients seront plus grands que les coefficients correspondants de la série

Or, on s’assure que la série obtenue est identique à celle qu'on obtient en développant la fonction algébrique