Le développement
ei . HE, P, (2)
et celui de Que) °° diffèrent que par les termes en
gn+1? gn+2?
On en conclut que le développement de
ne diffère de P,(z) que par des termes en
1 1 gn=n+1i, pn—nw+21 °°°)
n' étant le degré de Q,(2). Par conséquent, dans le produit
QE — +.) les termes en 1 1 l Sn na TE EN manquent. Cette condition détermine Q, (2), à un facteur constant près. Supposons d’abord » pair et posons
en écrivant que les termes en ] 1
+ ? sic gn
manquent dans le produit de Q2:,(— 2) par Re 0 I PR z Tr F + là F:2) il vient (1) + . . aocrHacxtr1i+...+ancrin—=0 (k=0,1,2,...n—1),
et, si l’on remarque que Q2,(0) — 1, on obtient
1 £ Pi. 2" C Co .. Cn Co C Co vs Cn È C C .….. Cn 1 (9) Qeat—9=| à 6 4 1, 1727 , + Cn Cn+1 +: Con—1 Cn—1 Cn Cn+1 ::. Con—1
Pour exprimer plus simplement les formules (1), nous introduirons un symbole S f(u) dont voici la définition: f(u) étant un polynome, S f(u) sera le résultat obtenu en remplaçant dans f (u) les diverses puissances de u, u°, ul, w?,... par &, &, &,... respectivement. On aura donc
(8) : . . . . . . l'SIOOST- 0Iev (4=0,1,2,...,n—1).
Dans le cas de n impair, soit
Quitte +. +pnris tt,
il viendra (4) RE D dr Uk Qon +1(— U)} =0 (k=0, À 2, — 1). Le terme constant dans le produit de Q2»+1(— 2) par MEL à + D + e +...
est égal au terme constant de — P:,41(—2), c'est-à-dire = — 1, donc
\Qon+1(—0)l ni = — |],
Cette relation détermine le facteur constant que les formules (4) laissaient indéterminé et
CRE RE LE Co Ci Cn Ci Co .. Cn+1 : a ne.
EE . 1 2 ... n L (6) , Qon+1(—2) = — Co C3 PPS Cn +2 .
| Cn Cn+1 ….. Con | Cn Cn +1 .. Con
Les coefficients des plus hautes puissances de z dans Q2,(2), Q2n+1(2) sont connus d’après les formules du n° 2.
La comparaison avec (2) et (6) donne dès lors A A... An AS: D, A do... Aon+1 = Br: Anti;
si nous introduisons les notations
Co Ci .…. Cut Ci Co ... Cn C Co CE Cn Co Ca .…. Cn+i
An—= » Bn—= (Ao= Bo= 1), Cn—1 Cn +. Can—2 Cn Cn+1 ++ Can—1
on en conclut
D..." cm 7" et — Fa
Ce sont les formules qui expriment les a; par les ci.
Le coefficient de z dans Q2,+1 (2) étant a, + a +...<+a2n41 (voir n° 2), il vient, d’après la formule (6),
A di HG +... +amp = pt en posant C2 C3 Cn+1 A C3 C4 cr. Cn+2 C,= 1, Cn+1 Cn+2 c++ Can
12. Les expressions des numérateurs P2, (2), P214+1(2) sont un peu plus compliquées, mais s’obtiennent encore aisément par cette remarque que la partie entière de
s'exprime par S PU RE f(u){.
2—U L Il suffit de vérifier cela dans le cas f(2) = z#. On aura ainsi
BEI RC,
Des formules (2) et (6) o on déduit alors facilement les expressions suivantes. Posons Ro = Co) R=%s+a, R=co+az+c,
Ra 2e zh... Ho,
on aura VND 5: 5:
(9) . . . .Pen(—3)=—| à @ © +. Cn+1 |:Bn, $ Cn —1 Cn .. .. Con—1
R, R, .…. Rs Ci Ca Cn+1
(10) . Pon+1(— 2) = Co C3 co. Cn+2 : Anti Cn Cn +1 pe Con
Pour z2—0, on conclut de la formule (9)
0 © Cn—1 C C C (11) . . ao + a +... + aan = — Q 1 È 1.
Cn—1 On ee Con—1
A l'égard du symbole S, nous ferons cette remarque à peu près évidente que, V,(w) étant un polynome du degré n, la valeur de
S Va (u)} est égale au coefficient de - dans le développement de
Fu) Qn (u)”
A (— u) en supposant m > n + 1, ce que nous écrivons S Vs (u | = Rés. À Van (— u) ENS EE
Qu (u))
D’après cela, on a, par exemple,
SQL a = Ré (9 q
Fe D4 1 + Pon(u) Q2n 1 (w)) = Rés. [QG
a Qon+1(u) Aon+i
= Rés. |
Nous rassemblons ici quelques formules de ce genre
SIQ5,(— u)| > ge
An +1
1 1 S{u + wi —( | Qc )| = A2 n+1 on A2n+1 Aon+142n+2 ’
+ On (— = — : PL ET g [Ran(0 17) —s ne etat... +a
Voici enfin une dernière remarque : supposons
Pon(2) = M:
Qn(2) 2: 24m
on aura S{V,(u)} = SM: Va (xs),
d'où l’on voit que, si le polynome V,{(u) ne devient pas négatif pour u > 0, la valeur du symbole
S{Va (u)]
est toujours positive.
