CAS OU LA PARTIE RÉELLE DE Z EST POSITIVE
13. Supposons z2=— 1 et écrivons P,, Q, au lieu de P,(1), Q,(1). Les relations Pu = An Pn—1 + Pn—e, Qh = An Qn —1 Le Qn-2
montrent que l'on a
PCR ..., Po Poe Fo ..., QL<Q<..., Q<B<Q<..….,
en sorte que dans le second membre de 1 1 1 (— 1} 1 QT Qi GE GO FO Q les termes vont en diminuant,
On en conclut que les réduites d’ordre impair vont en diminuant, sans devenir jamais plus petites qu’une réduite quelconque d'ordre pair. Les réduites d'ordre pair vont en augmentant sans surpasser jamais une réduite quelconque d’ordre impair. Ainsi les réduites d'ordre impair tendront toujours vers une limite finie, et il en est de même des réduites d'ordre pair.
: Pon+1 l L Qon+1 pi Pen lim G = L, et | ‘ L,>L.
Si la quantité croissante Q, ;1Q, croît au delà de toute limite, on aura
si, au contraire, Q,1Q, tend vers une limite À, on aura L, = L + FE
Or on voit facilement que Q», > 1, donc Qor+1 —= Aon+1 Q2n + Qon—1 > Qon—1 + Aon+1»
d'où Qon+1 > + 3 +... + anti Ensuite on conclura Qon = don Q2n—1 + Qon-2 > Qon—2 + A1 Aons d’où D.
Qon > (ao + a +... + on).
Donc, si la série (ee) paLE
est divergente, l’une au moins des quantités Qs», Q2n+1 croîtra au delà
de toute limite et | | LL, = L.
Nous dirons, dans ce cas, que la fraction continue est convergente. D'añtre part, ayant Qn = An Qn 1 + Qn—2; on en conclut | Qn 1 + Qu = (1 + ax) Qu 1 + Que L(1 + an) (Qn 2 + Qu 1); donc | Qi HO NULAII ES)... LITE)
Or, si la série 4..." est convergente, le produit l'est aussi et ne croît pas au delà d’une limite finie.
Dans ce cas donc, Qo» et Qor+1 tendront aussi vers des limites finies
et l’on aura L >L.
La fraction continue, dans ce cas, est oscillante. Si l’on pose, dans
. ce cas, co s—) An)
Qn—1 + Qu Les, Qn—1Qn > +#es, L—L>4e-?s.
Les propositions sur la convergence et l’oscillation de la fraction continue ont été obtenues depuis longtemps par M. Stern (Journal de Crelle, t. 37).
Dans le cas d’oscillation nous venons de voir que Q:, et Q:,41 tendent vers des limites finies; il est clair qu’il en est de même de P,, et Ponti.
on aura
14. Supposons maintenant z— x réel et positif. On aura, d’après ce qui précède,
CE Qon+1 (x) PERS F; (x),
lim
Fi (x)2 F (x).
Il y aura oscillation ou convergence selon que la série
dx+a+a;x+a, +...
est convergente ou divergente, Mais il est clair que cela ne dépend en aucune façon de la valeur particulière de x, et l’on arrive à cette conclusion : si la série
co
) An
est convergente, la fraction continue est oscillante pour toute valeur positive de x, et l’on a Fi (x) > F(x);
si au contraire la série est divergente, la fraction continue est convergente, et l’on a x) F,(x)=F(x) = lim: n (2), 1 ( ( ) Qu (x) IT 28
15. Passons aux valeurs imaginaires de z. Pour étudier séparément les réduites d'ordre pair et celles d’ordre impair, nous remarquerons que
Pon NN Go on Qon(2) Qo (2) Qp (2) F Qo (2) 1° (2) Tour Qan— 2 (2) Qan (2) ” Pon+1(2) __ 1 As 2 Q 2 A2n+1 2
Qui) m2 Q@@%) QG ‘7 Qan-1() Qonti Il s’agit donc de l'étude de la convergence des séries
A2% OU eu on de 2e ve Qi
Se 412 Læ Qox-1(2) Qrx+1 (2)
Supposons 2=— x + yi, la partie réelle de 2 étant positive, et considérons un domaine quelconque $ dans lequel x admet une limite inférieure À qui soit positive. Je dis que dans ce domaine la série (1) est uniformément convergente ; en effet n+n n+n
Lo a2% | Qox— 2 (2) Q2x (2 |
Or il est clair que Q2x— 2 (2) Qox (2) = C2 + a) (2 + a) ...(2 + ax 1),
C et a, @,...,a2x1 étant des constantes positives. Pour 2— x + yi, x Étant positif, on a évidemment
|2+ail>x+ ai,
| Q2x— 0 (2) Qox (2) | > Qax— 2 (&) Qox (&), et puisque x 2> À, à plus forte raison
| Q2x— 2 (2) Q2x (2) | > Q2x— 0 (4) Qox (2);
donc n+n n+n a2k ak 1 Q2x—2 (2) Q2x(2) Qz x — 2 (4) Q2x (À) Or la série
* a2% Fe Pon ()
L À LP TP à ee TA
est convergente; par conséquent on peut déterminer un nombre » tel
que pour nZ=7 n+n!
a2k Z Q2x— 2 (4) Q2x (2) nd
quel que soit n’, s étant aussi petit qu'on le voudra.
Pour les mêmes valeurs de n on aura donc aussi n+n
ÿe a2% . Q2x— 2 (2) Q2x(2)
et puisque z est un point quelconque du domaine $, cela montre que la série (1) est uniformément convergente dans $. Comme, d'autre part, les termes de cette série sont holomorphes dans $, il s'ensuit, d’après un théorème connu, que
ci e- oi ee "1 Fete) de ‘72 " Qox-2(2) Q2x(2) 0.0 |
est aussi holomorphe dans $.
On voit facilement que les mêmes raisonnements s'appliquent presque sans modification à la série (2), et il suffira d’énoncer le résultat suivant. La série
el AE a2k+12 — imP2+1@ ns 2. lim
1 (2) Qox+1(2) Qon+1(2)
est uniformément convergente dans $ et F,(2) est holomorphe dans ce même domaine.
Ainsi, dans toute la partie du plan où la partie réelle de z est positive, on a
Pon (2) 2 , Pan+1 (2) Re si Qon (2) — (2), ant: AVE 17 bide (2),
F (2), F,(2) étant des fonctions holomorphes. Ces fonctions ne sont pas
lim
identiques dans le cas où la série
Lo)
Ÿ où
est convergente ; elles sont identiques dans le cas où cette série est divergente. Supposons z2=— x réel positif, et faisons tendre x vers zéro,
on conclut aisément des expressions de F(x), F, (x) par les séries lim F(x)= a<+a+a;+..., 2= lim x F,(x) = 1:(a, + a3 + a, + ...).
æ=—0 Si la série Zaon
est divergente, F(x) croît au delà de toute limite. Si la série ZAon—1 est divergente, x F,(x) tend vers zéro.
Remarquons que
Pon(®) Ÿ Mi Quel) — De x + xx
. Mx aŸ Ma ce AR MT EE à pond
x a? av(x 4x) Pou(x) 1e Le ÉCp , Qan (x) GE FAT? axr+1?
ue 1) on aura donc aussi c C 1Cp— £c EE A OÙ CL ANR à à | (O<E<1) et de même c C PT ARR £'c = cs +. +1 DONS OR EPL N
16. Il faut étendre maintenant ces résultats au cas où la partie réelle de z est négative. On y arrive facilement à l’aide d’une proposition de la théorie des fonctions que nous établirons plus loin. Mais, avant d'aborder cette étude, nous allons examiner le cas où la série
[re]
est convergente. On peut traiter ce cas par une méthode particulière,
grâce à cette circonstance que les polynomes
Pon(x), Qon(t); Pon+1(x), Qon+1() tendent vers des limites finies.
