On a identiquement

Pan (2) = Dax Pox 1(2),

Qun (2) = 1 + ; 3 &2x Q2x—1 (2),

Pon+1 (2) = 1 + 2 a2k4+12 Pax(z),

Qn+1(2) = dE dax +12 Qox (2).

Par conséquent, en supposant que la série

soit convergente, les séries

Le]

Dax P2x-1(2),

1 + Dax Qux—:1 (2),

1 + 2 d2k+12 Pox(z),

2 a2k+12Qox(z),

sont convergentes lorsque z est réel et positif.

Considérons un domaine quelconque S dans lequel le module de 2 admet une limite supérieure 1 qui soit finie. Je dis que les séries précédentes sont uniformément convergentes dans S, et puisque leurs termes sont holomorphes dans $, il s'ensuit qu’elles représentent

dans $ des fonctions holomorphes. Il suffira de considérer la première

série. On a n+n

Dax Po x — 1 (2)

Or P2k-1(2) est un polynome à coefficients positifs ; donc | Pox—1 (2)| << Pox1(12|) < Pox 1 (4),

< 2 a2k| Pax—1 (2) |.

puisque [21 1,

4 à a 2x Pax — 1 (À).

>: aax Pax—1(2)

Or, la série

ao

>» @2x Pax—1 (2)

étant convergente, on peut déterminer un nombre » tel que, pour nZy, n+n!

n quel que soit #’, e étant aussi petit qu’on le voudra. Pour les mêmes

valeurs de #, on aura donc aussi

)2 Q2x Pan 1 (2)

et, puisque z est un point quelconque du domaine $, cela montre que la série considérée est uniformément convergente dans S. D’après cela, nous avons

Le)

p (2) = D ax Pox-1(2) —= lim Pon (2),

a(z)=1+ + £ Q2k Qx—1(2) — lim Qz, (2),

D ()= 1 + D aax+12Por(z) = lim Pon+1(2),

Q (2) = Dasx+12Qx(e) = lim Qen+1(2), 0 |

les quatre fonctions p(2), g(2), ».(2), 4, (z) étant holomorphes dans tout le plan. Elles sont liées évidemment par la relation

P(2)4(2) —pP()a(z)= +1.