a2x Pax

est absolument convergente, et même que la nouvelle série, obtenue en remplaçant P2x-1(2) par son expression comme polynome de z, est absolument convergente. Dès lors, dans la nouvelle série, il est permis d’ordonner suivant les puissances de z, ce qui donnera

p (2) = Das?

et le coefficient a; sera la limite du coefficient 4, de z* dans P:,(2) (n° 2). Les mêmes conclusions s’appliquent évidemment à g(z2), p,(z), q (2). Nous venons de voir que P2,(2) tend uniformément vers p (2), et il est clair que p(+) est une fonction continue de z. On peut en conclure que, Zi 2 23) étant une suite infinie de nombres et lim z, = Z (pour n—= «), on aura

aussi .

lim Pen (Zn) = D (2).

n = no

En effet, entourons le point limite Z (supposé fini) par un cercle C. A partir de n = », z, sera à l’intérieur du cercle et, à cause de la convergence uniforme, on aura

(Pan (2) —p(@)I<e,

pour n = »', z étant un point quelconque situé à l’intérieur de C. D'autre part, z, tendant vers Z, on aura aussi

IP(en) —p(ZI<e, à partir de n >”. Or,

| Pan (2n) —p (2)! < | Pan (n) — p (an) | +1P (en) — p(2)|,

et dans la première formule il est permis de remplacer z par z,; dès

lors, on conclut | Pan (2n) —p(Z)| <2e,

pour nZ2N, N étant le plus grand des nombres », »’, »”. Enfin on trouvera facilement, par la considération de la série |

Le)

D(e+h) = D aox Por-1(2 + h), qu'il est permis d'ordonner le second membre suivant les puissances de h, et d’en tirer la conclusion qu’il est permis de différentier autant de fois qu’on le voudra la série

p (z) = Dax Pox—1(2); on a donc

p'(2)= lim P:, (2),

et la convergence de P;,(:) vers p'(z2) est uniforme dans tout domaine S où |z2| est limité. Supposant lim z,—7Z, on aura aussi

lim Pou (2h) = p' (2).

19. Nous allons obtenir maintenant les fonctions p(2), etc., sous forme de produits infinis, en nous bornant à développer le raisonnement dans le cas de

q (2) = lim Qoh (2).

Les polynomes P ne diffèrent pas au fond des polynomes Q, on a remarqué déjà (n° 3, à la fin) que

Pan (2) = Qun-1(2),

Ponti(2) = Q2, (2),

et dès lors il sera facile d'étendre le résultat que nous allons établir pour g(z) aux fonctions p(2), p,(2), g, (4). On a

Qa=(1+É) Cie de +).

Nous supposerons les x; rangés par ordre de grandeur croissante, 1 1 1 PAP SE GEL ue Fret

P étant le coefficient de z dans le développement

q (2) = > Pas,

Lorsqu'on remplace n par n + 1, nous avons que x, 4%, ..., &x décroissent, mais il est clair qu’on aura toujours

Par conséquent, pour n — w, x; tendra vers une limite positive que nous désignerons par x, et

Je dis d'abord que la série 1 1 1 Àr: & de + % ne

est convergente. En effet, soit 4 un nombre fini quelconque, en prenant n > k, on aura

puisque x; tend vers 1; en diminuant toujours. Mais, d'autre part, 4; étant la limite de x;, on peut supposer » assez grand pour que la différence

1 1 1 1 Li. Cr. soit inférieure à #, et alors

1 1 1 1 1 Re PA Sartre Earth to res