RE TR
oo . 14 Li 1 Ceci prouve que la série ) 3. st convergente et que la somme de k
cette série ne saurait surpasser B..
Puisque x; tend vers 4;, on a
lim Qon (— 2x) = 0 = (— À); les 1, sont des zéros de la fonction qg(— 2).
20. Peut-il arriver que plusieurs 1 soient égaux, qu’on ait par
exemple psg... = dé
1x étant <lx41, lkrit1 > l+1? Il faut d’abord remarquer que à sera nécessairement fini puisque la série
le est convergente. Ensuite, nous pouvons prendre n assez grand pour que L,..., Xk;, Thk+i;ee.s Tk+i) Xk+it+i
diffèrent aussi peu qu’on le voudra de leurs limites
1, ET le, lx+1, ..) li, dAx+i+:.
Nous pouvons donc supposer que
Vk+is Dk+23 3 Lk+i soient tous dans l’intervalle (1441, 44:41).
Ensuite, nous pourrons trouver un nombre #/ tel que les racines
hé, Mis Ji ui de
Qon+an (— 2) = 0 se trouvent toutes dans l’intervalle (x+1, Æx+1), %k+i+1 restant toujours supérieur à 14:41.
RECHERCHES SUR LES FRACTIONS CONTINUES. 4438 De cette façon, on voit que l'intervalle (Mt: Lk+i+1) de deux racines consécutives de Q2»+2n (— 2) =0 renferme les racines Th+1; Thk+2 +. k+i
de Qon (— 2) = 0. Or nous avons vu (n° 5) que, dans l'intervalle de deux racines consécutives de
Qen+an (— 2) = 0, il se trouve soit une racine de Q:,(—z2)—0, soit une racine de
P5# (— 2) =0. On a donc nécessairement i—1, c'est-à-dire parmi les
nombres À, d, k, CEE
il n’y en a point qui soient égaux.
21. Soit & un nombre positif aussi petit qu’on le voudra; le produit
Le)
étant convergent pour toute valeur finie de z, il est possible de déterminer un nombre m tel que
il est clair que
et puis aussi
À cause de
s=IT(+£)xIL(+2)
on en conclut facilement a s—I[(+5)+"
le module de &’ étant inférieur à &.
Considérons, d’autre part, pour n > m l'expression
. z . 2 = IL (+2)x I (+2) il est clair qu’on aura encore
ÎT(+2) <a
I (+2)-1<e d’où l’on conclut ®...... o=f[(i+2)+u
le module de £&” étant inférieur à &.
En faisant croître n indéfiniment,
tendra vers IL(+;) Dès lors la comparaison des formules (2) et (3) montre que l’on a
lim Qon (2) = 8,
c’est-à-dire la fonction holomorphe g(+) peut se mettre sous la forme
Ainsi, la fonction g (2) est du genre zéro, elle n’admet point d’autres zéros que les — }; qui sont des zéros simples. On arrive pour p(2), p. (2), 4, (2) à des conclusions toutes semblables.
22. Pour toute valeur de z qui n’annule pas g(2) ou q,(2), on a
…— Pon(e) pe).
En On (a) — (a)
Pon+(2) P1(#) Qun+1 (8) — qi (a)
Nous allons obtenir ces limites encore sous la forme d’une série de
lim
fractions simples. Pour cela, considérons la décomposition en fractions
simples Pon (2) M M M, Qué) sta trtat DRE ET TE Pon (—- x) Mx = — —*.
' Qon (— Zx)
Pour n =, xx tend vers 1x, il s'ensuit que M4 tendra aussi vers une limite finie 420,
Papi As) MT)
Il est clair que x est positif, car, à cause de la relation | M(e)a(2)—P()a(2)=+1, les fonctions p (2) et q(2) ne peuvent pas s’annuler pour une même valeur 2 = — 43.
La série M + bo + +...
est convergente En effet, prenant n suffisamment grand,
MH u+...+ux
différera aussi peu qu’on le voudra de
Ms + ur CM +M+... + Mie, m+...+u<M+.....…... +Mate= te
Il s'ensuit que la série (ee) )E Uk
À . 1 est convergente et que la somme de cette série ne saurait surpasser pr
Cela étant, et puisque les nombres
définit une fonction méromorphe dans tout le plan. Soit £ un nombre positif aussi petit qu'on le voudra, puisque 14 croît au delà de toute limite, on pourra trouver un entier m tel que
Am4i—l2 > et l’on aura alors, à plus forte raison,
Amti—|21>— (i=1,2,3,...), d’où l’on conclut | 1 1 À Âm+i+2 Dmti—l21> Hunts * 12,8...)
En écrivant
m +1 on aura dE < y. Le ue<—, ÿ 2 — : m+1 Le L donc . m !
ne CR Sri te
le module de £’ étant inférieur à &.
D'autre part,
Pon (2) .
Qu (9) -ÉrtL FE
et, si l’on se souvient que x4 > 14, on conclut
ce neue
Le
donc Pan() e" D ho Pret
le module de £// étant inférieur à &.
Or, pour ñ—«,ona
De + = -} Le
et dès lors la comparaison des formules (4) et (5) montre qu’on a
.… Pon(z) __p(e) OT Qu PAT) Von S, C. Q.F.D.
23. Nous venons de voir que la série Dur est convergente; plus généralement, on a D hrli=c: (i=0, 1,2,8,...)
D'abord la série considérée est bien convergente, car la somme
bg À + po 1 +... + ny Ai
diffère aussi peu qu’on le voudra de
M, 1 + Moi +... + Myxi;
par conséquent , elle séra inférieure à
Maxi +...+Mrxite,
et, à plus forte raison, inférieure à c; ++, puisque
Soit donc
on aura 6 < ci. Déterminons un nombre m tel que
Ci+1 <Æ, Am+1
e étant un nombre positif aussi petit qu’on voudra, on aura
a = uxli+e,
e' étant plus petit que «. En effet,
Yynte, FE HÈmtte, mis jt put Le.
m +1 ph D'autre part, on a
= È nat + Eur,
m +1 et il est clair Le
Lui; P ets < ee «pr:
m +1 m +1 donc
m Be =) Mrzi+e”,
e'! étant plus petit que &.
Or, pour n—=w,ona
m m “ lim Mit; =) ur Àk ; 1 1 dès lors la comparaison des formules (6) et (7) montre qu’on a sa M de-04 C. Q.F. D.
24. Il suffira d'énoncer les conclusions analogues résultant de l'étude de la formule
Pon+1(2) +
Qon+1(2) Dre pu En en cherchant ce qu’elle devient pour n =. On aura vx = lim N4 (4—0, 1, 2, 8, ..), 0 = lim T4 (=, 8,9, ...),
.… Pon+1(2) __P:(2) Vo Vk l — MENEETAITS Qt) 4) — +2 2 + 0k a= er,
= v04 AE 254: EP
Considérons sur une droite infinie OX... une distribution de masse (positive), la masse m; se trouvant concentrée à la distance £; de l’origine O. La somme
Emiëi peut être appelée le moment d’ordre 4 de la masse par rapport à l’origine.
Il résulte alors des formules précédentes que le système des masses
PRES (i= 1, 2, 3, ….) a pour moment d'ordre # la valeur cx (k— 0, 1, 2, 8, ...). De même, le système des masses (v;:, 0j) tée=0; 1, 2,8, 51h,
où 0, —0, aura les mêmes moments cx.
Nous appellerons problème des moments le problème suivant:
Trouver une distribution de masse positive sur une droite (0 w), les moments d'ordre k(k— 0, 1, 2, 3,...) étant donnés.
Désignons ces moments par c4, et remarquons d’abord que ces données de la question doivent satisfaire à certaines inégalités. IT 29
En effet, nous supposons qu’il soit possible de trouver des m:;, &;, tels que Cr. = EM: F3
il s'ensuit (voir la fin du n° 8) que tous les déterminants
Cp Cp+1 .….. Cp+m—1 Cp+1 Cp+2 cs. Cp+m Cp+m—1 Cp+m ... Cp+2m—2
doivent être positifs et, en particulier, les déterminants A,, B, du n° 11. On en conclut que, si l’on réduit en fraction continue la série
nr nr
on doit obtenir une fraction continue du type que nous étudions avec des valeurs positives des ai.
Cela étant, nous distinguerons deux cas dans le problème des moments le cas déterminé et le cas indéterminé.
Le cas indéterminé a lieu lorsque les données c4 sont telles que la
série ) An
est convergente.
Il est facile de justifier cette dénomination : en effet, nous venons de voir que dans ce cas le problème admet au moins deux solutions, soit par le système des masses (u:, Li), soit par le système des masses (»;, 6), et, dès lors, il est facile de voir qu’il y a une infinité de solutions. Nous montrerons plus loin qu’il y a même toujours une infinité de solutions dans lesquelles la masse est distribuée sur l'axe d’une façon continue avec une densité finie en chaque point.
Le cas déterminé a lieu lorsque la série
est divergente. Nous montrerons en effet que, dans ce cas, le problème des moments admet toujours une solution et une seule,
