CHAPITRE V

SUR QUELQUES THÉORÈMES DE LA THÉORIE DES FONCTIONS, ET LEUR APPLICATION A LA THÉORIE DE NOTRE FRACTION CONTINUE.

25. Soit A), BR), A(), une suite infinie de fonctions analytiques, toutes holomorphes dans un cercle C tracé autour de l’origine avec un rayon R.

On aura donc ao " Fe ie Af î 1Kk (2) Le ani iZ

ces séries étant convergentes tant que |z2|<R.

Considérons la série dE à k (2) ,

nous la supposerons uniformément convergente pour |2| <R,, c’est-àdire à l'intérieur et sur le contour d’un cercle C, tracé autour de l’origine avec un rayon R, plus petit que R.

Soit encore R’ un nombre plus petit que R, mais pouvant différer de R aussi peu qu'on le voudra. Nous supposerons encore que le module de la somme

admet une limite supérieure L, quel que soit » et quelle que soit la valeur de z à l’intérieur ou sur le contour du cercle C’, tracé autour de l'origine avec le rayon R’. Il peut arriver, du reste, que ce nombre fini L croisse au delà de toute limite lorsque R’ tend vers R.

Dans ces conditions, nous allons démontrer le théorème suivant :

La série