RON ON UE

c'est-à-dire inférieure à

R/\?+1 EE Li #5 — > +2Me + 2L (Tr 5) Xe AE :

2Me +21

c’est-à dire inférieure à &.

Il résulte de cette démonstration que dans le développement

F{)= Ÿ cuis,

le coefficient c; est la limite du coefficient de z' dans le développe-

D ft),

pour n — . Cette remarque nous sera utile plus tard.

ment de

338. Nous avons vu (n° 15) que, tant que la partie réelle de z est positive, la réduite

Pon(z) &2k Qun(e) -Z Q2x—2 (2) Qux (2)

tend pour n — « vers une limite F (2) qui est une fonction holomorphe de z. La série

est uniformément convergente dans tout domaine $ dans lequel la partie réelle de z admet une limite inférieure qui soit positive. Posons

ne A2 k PERS a Aie Q2x 2 (2) Qx (2) on aura Pon(2) .

D 2 (2), c’est-à-dire

Éne=L

Admettons que z ait une valeur quelconque non sur la coupure, on

aura ea Enel< EE

Je désigne par (2) le minimum du module de 2 + lorque « varie de 0 à « en passant par toutes les valeurs réelles et positives Il est clair que, lorsque la partie réelle de z est positive ou nulle, on aura

@=12|, mais si, dans z2—a + fi, a est négatif, on aura (2) =] 8 |.

On voit que (2) est positif, non nul tant que le point z n’est pas sur

la coupure. Puisque, par définition, on a

Lao <g EM

il viendra

c'est-à-dire

» fk@|<

<a, ef

Considérons maintenant un domaine quelconque $ qui reste à distance finie de la coupure; dans ce domaine (z) aura une limite inférieure À qui sera positive. Dans tout le domaine $S on aura alors

n LS fe) | < a À ’ et cette limite supérieure est indépendante de n.

Soit maintenant a un point quelconque du plan non sur la coupure; nous allons montrer que la série

est convergente pour z—4, et que la convergence est uniforme dans le voisinage de a, c’est-à-dire dans un cercle C décrit autour de a avec un rayon assez petit pour n'avoir pas de point commun avec la coupure.

Prenons arbitrairement un point z, et un cercle C, dont z, est le centre et qui soit tout entier dans la partie du plan où la partie réelle de z est positive.

Nous pouvons alors construire encore d’une infinité de manières un domaine $S englobant les cercles C et C, et qui reste à distance finie de la coupure. Dans ce domaine $S le module de la somme

D fx)

admet une limite supérieure indépendante de n, comme on vient de le voir. D’autre part, nous savons que dans le cercle C, la série

F()= } fi (2)

est uniformément convergente. Nous pouvons donc appliquer le théorème du n° 30 et affirmer que cette série est uniformément convergente dans $ et partant dans C,. Et, en même temps, nous savons que F (2) est holomorphe dans $.

Cela revient donc à dire que les réduites

Pon (2) © Qu — 2e @

tendent vers une fonction holomorphe F (2), tant que z n’est pas sur la coupure.

34. L'étude des réduites d'ordre impair Pon+1(2) 2 Q2k+12 Qon+1(2) Qc 1 (2) Qox+1 (2)

se fait de la même manière et conduit au même résultat. Nous savons

que la série

Le) 1 A2k+17 UE me L Q2x-1 FER (2) est uniformément convergente dans tout domaine $S où la partie réelle de z admet une limite inférieure positive. Or, à l’aide du théorème du n° 30, on peut conclure que la série est convergente dans tout le plan hors dela coupure, et représente une fonction holomorphe. Cethéorème, en effet, s'applique grâce à la limitation

Pon+1(2) Qon+1(2)

qu’on obtient sans difficulté.

Dans tout ce qui précède, nous n’avons pas eu à distinguer les deux cas où la série

Lee)

Y au

est convergente ou divergente. Dans le premier cas, les fonctions F(2) et F,(z:) sont distinctes, mais nous n’apprenons rien de nouveau, ce cas ayant été déjà étudié d’une manière plus approfondie.

Mais, dans le second cas, les fonctions F(z) et F (2) sont évidemmment identiques et l’on peut écrire pour un point quelconque du plan non sur la coupure

la convergence étant uniforme dans le voisinage du point considéré. La nature de la fonction F(2) se trouve ainsi mise en lumière; le seul point obscur qui reste à éclaircir, c’est la nature de la coupure. Il 30

Pour cela, nous allons obtenir pour cette fonction F (2) une autre expression analytique, plus explicite que la série par laquelle nous l'avons définie jusqu'ici. Mais cette recherche rencontre encore de sérieuses difficultés et exige des considérations assez délicates.

85. Étudions d’abord un cas particulier dans lequel un segment de la coupure ne présente aucune espèce de singularité pour la fonction F (2).

Soit

Vi Vo» Veo-ÿre 5 1! Vk une suite infinie de nombres entiers, positifs, croissants. On aura évidemment, n parcourant la suite de ces nombres, Pon (2) Q2n (2)

et la convergence sera encore uniforme dans le voisinage du point z.

lim — F (2),

Soient a et b(a < b) deux nombres positifs, nous supposons que pour n = v4 l'équation

Qon (2) = 0 n’admet jamais une racine comprise entre — b et — a. : ‘ a + b Considérons un cercle C dont le centre est le point — £ et dont : : Da 4 le rayon R est un peu inférieur à —,—: On constate facilement que

pour tous les points à l’intérieur ou sur le contour de ce cercle, on aura

en supposant toujours n — »4. Il est aisé d’en conclure, d’après notre théorème, que si l’on pose (n —»x)