YA

est uniformément convergente, comme cela résulte aisément de ce qui vient d’être dit et de ce que nous avons démontré déjà antérieurement.

Dès lors il est facile de voir que nous sommes dans les conditions exigées par le théorème du n° 31, et nous pouvons conclure: la série

F (= Yr. (9

représente pour q < |2|<b une fonction holomorphe qui peut se mettre sous la forme

et, d'après la remarque à la fin du n° 32, le coefficient c; est la limite du coefficient de z' dans le développement de Pan (2) que (n = vx).

La valeur de c; est donc la limite du coefficient de 2-1 dans le développement de

Pan(2) M, D iatsratetiie

Si l’on suppose x, < a, %+12b, ce coefficient est évidemment

car on a pour a << |2|<b

p eu Dm(i-+)

n 1 9 z 2 +yupe x | p+1

86. Nous allons exprimer ce résultat un peu autrement en introduisant une fonction croissante, discontinue y, (u) qui jouera un rôle important dans la suite de nos raisonnements.

Ayant posé Pon(?) WT M4 Qu) — 2 2 + Tr

nous définissons la fonction œ,(u) de la manière suivante

Pn(u) = 0, O<u< x, Pn(u)—=M;, LT EU < Lo; Pn(u) = M; + M, Lo EU < Lg; Pn(u) = M; + M + M, T3 SU LL,

Fi ein re te 2/41 6.4 2

Soit c un nombre compris entre a et b, on aura M, + M +... + My = a (c).

Ainsi dans le cas particulier que nous considérons on a

tant que a < |2|< b et la valeur de c; s'exprime par C 1—=limp,(c),

n parcourant toujours les nombres »4.