Soit toujours œ(u) une fonction croissante
ET a=f 2+u On définit ainsi une fonction holomorphe dans tout le plan, excepté la coupure, qui se compose de la partie négative de l’axe réel. Cette
fonction y (uw) caractérise une certaine distribution de la masse totale c sur une droite OX.
et posons
Soit y, (u) une fonction de même nature que y (u),
et posons
en
Nous allons montrer que, si les fonctions F (2) et F, (2) sont identiques,
on peut en conclure que les fonctions œ(u) et y, (u) caractérisent la même distribution de masse; ces fonctions ne peuvent différer qu'aux points de discontinuité, et peuvent être considérées comme identiques si l’on n’a en vue que la distribution de masse.
Il est aisé d’abord de voir qu’on peut écrire
ne ® q(u) du QE) Gp”
puisque F (2) = ®' (2) si l’on pose
® (z) — Lane p(u) du.
Soient maintenant æ un nombre positif, e un nombre positif que nous
allons faire tendre vers zéro; considérons, d’après l'exemple de M. Hermite, la différence
® 2eiq(u) du
Ga +
Nous allons voir que, pour lime—0, cette expression a une limite
finie. Décomposons l'intégrale en deux
% 2eip(u)du 7 2eip(u)du J'u—s+et] mate
Je dis qu'on aura
na, ee EL = rip(x),
€ ue, im pe = nig(a)
En effet, écrivons
z—Ve
ep(u)du ep(u)du ep(u)du Late + # mL (u— x) EL U—P+e
on aura
z—Ve e Au
J u—m@+e< ‘| GE à (arc tang = — arc tang 7);
donc
D'autre part, dans l'intégrale
F ep(u)du ta) +e la fonction q(u) pour t—Ve<u <x prend des valeurs qui sont infiniment voisines de p (x). Il est vrai que la valeur de (x) peut sur-
passer y (x) d’une quantité finie, mais cette valeur de y (x) n’a aucune influence sur la valeur de l'intégrale. Il est aisé de voir alors que cette valeur diffère infiniment peu de
af ù re =? > (x) arc tang ;
donc
ep(u)du =? Fe mi <?tu)du hs (u— 2x) +Le rue ne (u— x} + &
On trouvera de même sans difficulté
€ d æ T & = Eva),
et nous aurons donc lim Lo (— æ + ei) — à (— 0 — 6] = ri Cp (a) + p (a)
Posons maintenant = ( Eu us ri (u) du, . a+u z2z+u)"1 °
on aura F,(2)=4(2), et, puisque nous supposons F(2)=F,(2), les
fonctions % (2) et $, (2) ne pourront différer que par une constante. On aura donc D(—r+ei)—P(—z—-ei)=dD(—z+ei)— D, (—x—ei),
et, faisant tendre & vers zéro, on en conclut
pa) + pe) = 1 (2) + pie) Cette relation a lieu pour toute valeur positive de x tandis que nous supposons (0) — y, (0) — 0. On peut en conclure que les fonctions œ{u) et y, (uw) caractérisent la même distribution de masse. En effet, tant qu'il ne s’agit que de caractériser une distribution de masse, on peut prendre arbitrairement les valeurs de œ (u), y, (u) aux points de discontinuité Rien n'empêche donc de prendre toujours
Pi (&) =
- + pa=ratrr®,
De cette façon, on voit qu’on a pour toute valeur positive de x
et, puisque (0) —#, (0) —0, les deux fonctions sont identiques.
