I. Les nombres
à partir d’un certain rang, sont tous inférieurs à L+e, s étant un nombre positif quelconque.
En effet, puisque L, tend vers L en diminuant, on peut toujours
déterminer n de façon que L, soit plus petit que L ++; or aucun des nombres Mur Most Me ie
ne surpasse L,, ils sont donc aussi tous < L +8.
Parmi les nombres
6, 0, Mi:
il y en a toujours un qui est, soit — I,, soit > L, —£. Soit u4 ce nombre, il est visiblement plus grand que L —+ puisque L, 2 L.
Ensuite, parmi les nombres
Uk+is Ur+2, Ux+s, ...
il y en aura un qui est, soit = Lx41, soit > Lx+1 —e.
Soit u, ce nombre, il sera encore plus grand que L—e.
De même, parmi les nombres
Uiti, Wito, Uitks,
il y en aura toujours un %,, qui est plus grand que L:+1—#, et, par conséquent, aussi plus grand que L— &.
En continuant ainsi, il est clair que, dans la suite RS on peut trouver une infinité de nombres Ux, Ur, Um, ..:.
qui sont tous plus grands que L—s. Les indices k,/,m,... vont en augmentant; or nous savons déjà que tous les nombres de la suite
M, ne ne à partir d’un certain rang, sont inférieurs à L + &. Il en sera de même pour la suite da Me et nous arrivons à ce résultat :
IT. Dans la suite U; , VU, Ua, en
il existe toujours une infinité de nombres qui sont compris entre L—e+ et L+:, e étant un nombre positif quelconque.
On verra de la même façon
I. Les nombres U;; U , U3; 3 à partir d'un certain rang, sont tous supérieurs à ! — e, II, Dans la suite
U;, U , Us, ….
il existe toujours une infinité de nombres qui sont compris entre / — +
et l+e.
La considération de ces nombres L et / est due à M. du Bois-Reymond, qui l’a exposé dans un livre paru en 1882 et qui a été traduit en français par MM. Milhaud et Girot. M. du Bois-Reymond appelle L et / les limites d’indétermination des nombres #,; on voit en effet que, pour n infini, %, finit par osciller entre ces limites. Et il est évident aussi que les nombres #, ne tendent vers une limite déterminée que lorsqu’on LE
La première application qu’on a faite de cette considération nous paraît due à M. Hadamard qui a remarqué que, dans le cas
vs Un=VÎcr
le rayon de convergence de la série
Le)
ÿ On 2"
est égal à 1:L.
41. Je reviens maintenant à la fonction y, (u) défini au n° 36. C’est une fonction croissante qui est bien déterminée, même aux points de discontinuité.
Elle ne varie qu'entre les limites
Pn(0) =0, des ec PES
Soit maintenant # un nombre fixe, positif ou nul, et considérons la
suite infinie
Pi(u), pa (u), pa (u), 2 RÉME ,
Ces nombres sont limités ; je désignerai les limites correspondantes Let ! par L= y (u),
l= X (u), en sorte qu’on aura
Il est clair du reste que y (0) — 7 (0) —0, et si pour quelque valeur
particulière de « on a y (u) = x (U),
nous pourrons en conclure, d’après ce qui précède, que, pour n=, lim on (u) = y (u) = 7 (u).
La fonction y, (u) étant croissante, on reconnaît immédiatement que
les fonctions y (u) et y(u) sont aussi croissantes, Ainsi, sous la condition a < b, on aura
SR D ne eo
À ces inégalités, nous allons en ajouter une autre d’une très grande importance : c'est celle-ci
De A a ST 10
Mais la démonstration de cette inégalité exige quelques préparatifs 42. Calculons d’abord l'intégrale ni ne k J a Pn co) u* du.
Sa valeur est évidemment pi +M+M+...+M) æi + ps Me + Me D) ET — td
+ M+...+M,) (ét xé tt)
RECHERCHES SUR LES FRACTIONS CONTINUES. 481 c'est-à-dire égale à
k+1 Mai tt + Mat! + Mai t! +... + Maxi t);
ainsi
ke Les k — Ch+1 He Ré 7 = on (ut perd SE (A=0, 1, 2, 8, ...,9n—9)
On aura de même
di C / [Le en+noi]urau = 2Ets (4—0, 1, 2,8, ...,92n+92n—2)
et, par suite,
Lrn to — pren (W]jukdu—=0 (k—0,1,2,3,...,2n—2). D'après un raisonnement bien connu, dû à Legendre, on en conclut que la fonction Pn(u) — Pn+n (U) doit changer de signe au moins 2» — 1 fois. Or, pn(u) et pu+n (u) sont des fonctions croissantes l’une et l’autre, puis ,(u) est constant dans chacun des intervalles
(Xi, Le), (Las Lg), ... y (Æn—1, Th).
Dans chacun de ces intervalles, Pn (4) — Pn+n' (4) peut changer de signe une fois au plus. Ensuite, il peut y avoir un changement de signe pour les points de discontinuité x, Las ++. En, Cela donne au plus n changements de signe; en tout on en a ainsi 2n — 1 au plus. Mais, à cause de
Pn (0) —= Pn+n (0) = 0,
Pn(O)= Pn+n' et rs ’
on reconnaît immédiatement qu’il ne peut pas y avoir d’autres changements de signe. Donc, effectivement, il doit y avoir un changement de signe dans chaque intervalle
(di Lo) ——. (Æn—1; Tn) et un changement de signe pour
Ne 2 &=1,2,...,n).
Pour une valeur u — xx, il faut donc que l’on ait
- + Pn (Lx) <'Pn+n(Xx) <'Pn(Lk); et même dans le cas où la fonction »,+,(#) aurait aussi une discontinuité pour “ — xx (ce qui peut arriver exceptionnellement lorsque les équations Qon(2) 0, Qon+an(z) = 0 ont des racines communes), on aurait
na) € nn (@i) < nn (a) € pa () Remarquons ensuite que, puisque Pn(u) — Pn+n (u) doit changer de signe dans l'intervalle (x, xx}1) et que y, (u) est constant dans cet intervalle, o,:,(u) doit effectivement croître dans cet intervalle. Or, cette fonction ne croît que par sauts brusques, les points de discontinuité étant les racines de | Qon+2n (— 2) = 0.
On en conclut que, dans l'intervalle (xx, %x+1), il doit y avoir au moins une racine de cette équation.
On retrouve ainsi une proposition que nous avons déjà obtenue d’une façon plus complète (voir n° 5).
43. Pour démontrer maintenant l'inégalité (3), plaçons-nous dans l'hypothèse contraire; supposons qu'on ait y (a) > x (), on pourra trouver un nombre positif s tel que y (a) — € > y (b) + €.
Cela étant, d’après les propriétés des limites d’indétermination, nous savons qu’il existe une infinité d'indices croissants Mai Vas M es VS tels que p,(a) pour n = 4 est toujours >> y (a) — €. Et il existera aussi une seconde suite d'indices croissants
, , Vis V2 V8» y Vk)
tels que w, (b) pour n =; est toujours < 7 (b) + e.
Je dis maintenant que, pour n — », et aussi pour n = y;, l'équation
Qan (— 2) = 0 ne pourra jamais avoir une racine comprise entre a et b. En effet, supposons que pour n =; cette équation ait une racine c comprise entre a et b. Alors la fonction y, (u) aura encore une discontinuité pour u—c, et, puisque y, (a) est déjà supérieur à y (a) — +, on aura
Pn (©) > y @)—e,
+ Pn(c) > y (a) — &.
Or, dans la suite
nous pourrons toujours trouver un nombre »;, = n’ supérieur à n = 4.
Dès lors, on devrait avoir
pn (©) < n'O < Pn ©.
Mais c’est là évidemment une absurdité, car Pn'(c) = pn' (D) < 46) +e, tandis que Pn(o > pa—e>xb+e.
Il est ainsi prouvé que l’équation Qon(— 2) = 0 ne peut avoir aucune racine entre a et b lorsque n —»,, et l’on verra de la même façon que cela est vrai encore pour n = »;, Puisque donc, pour une infinité de valeurs n — x, l'équation Qen(— 2) = 0 n’admet aucune racine entre a et b, nous savons (voir n°% 35, 36) que
la fonction F (2) admet un développement +
) Ci2°
— convergent pour a < |2|<b, et la valeur de c; est la limite de y, (0), c étant un nombre fixe entre a et b, n parcourant les valeurs
Vis Vos Vas
Mais on peut appliquer le même raisonnement en faisant parcourir à n les valeurs
NS M TM UE, et puisque, dans les deux cas, la fonction F (2) est la même, on devrait
avoir c 1—=limy (c) =limy, (c).
vx vx Or cela est une absurdité évidente, car tous les nombres p, (c) surk
assant w (a) — € et tous les nombres (c) sont inférieurs à P y Pr,
La contradiction qui se manifeste ici montre que l’hypothèse d’où on l’a déduite, et qui consistait à admettre que
doit être rejetée. L’inégalité (8) se trouve démontrée.
44. Ce point important établi, nous pourrons introduire une fonction qui joue le rôle principal dans notre théorème fondamental. Posons
ot =#%+10,
il résulte immédiatement des inévalités (1), (2), que c’est là une fonction croissante; on a d’ailleurs (0) —0, et la fonction ne peut pas
croître au delà de = comme y (u) et y(u). Il est clair que
Du+eZzzu+e)Zy(u), donc ee ® (U) = y (u).
De même
Ainsi, lorsqu'on a y(u) > y(u), ® (u) est discontinue et la mesure de la discontinuité n’est pas moindre que y (u) — y(u), mais elle peut être plus grande. Aussi ® (w) peut être discontinue même en des points pour lesquels y (u) = y(u). Mais, & (u) étant une fonction croissante, nous savons qu'elle a des points de continuité dans tout intervalle,
Or, si l’on a à (0 = # (u),
on conclut w(u)— y(u)—=limep,(u) pour n—%%. Donc, dans tout intervalle, il y a des points w tels que y,(u) tend vers une limite finie pour n = .
Voici maintenant une propriété de la fonction (uw) qui nous sera très utile. Considérons la fonction w,(u); elle est discontinue pour u= xx et pour # > n ona
+ Pn(Dk) < Pn' (Tr) <'Pn(Xx).
Il s'ensuit évidemment que w(xx) et x(xx), les limites d’indétermination des y} (xx) pour n'— ®, sont aussi comprises entre p,(xx«) et Pn(xx): donc
— + Pn (Tr) = E (x) SE Pn (Lx).
45. Considérons maintenant les équations Qan (— 2) = 0, (n—=1,2,38,...), et un intervalle quelconque (, b), 0<a< b.
Deux cas peuvent se présenter :
Ou bien les équations Qn(— 2) =0, pour lesquelles il n’y a aucune racine entre a et b, sont en nombre fini; ou bien ces équations sont en nombre infini.
Dans le premier cas, nous dirons que l'intervalle (a, b) est de première espèce ; dans le second cas, il est de seconde espèce. Lorsque l'intervalle (a, b) est de première espèce, il existe un nombre », tel que pour n > » l'équation | Qu (— 2) =0 a toujours au moins une racine entre a et b, et cette propriété est évidemment caractéristique pour un intervalle de première espèce. Ainsi, lorsque, pour une valeur particulière de n, l'équation a deux racines entre a et b, l'intervalle est toujours de première espèce, car les équa
tions suivantes de degrés supérieurs auront toujours au moins une racine entre ces deux racines-là.
Supposons que l'intervalle (a, b) soit de seconde espèce et, en outre, que les points a et b soient des points de continuité de & (#) et de toutes les fonctions p, (u). Il résulte de cette dernière hypothèse que:
® (a) — lim ph (a), n = oo
& (b) = lim y (b).
n = oo
Je dis qu’on a nécessairement ® (a) — ® (b). En effet, supposons ® (a) € % (b), on pourra déterminer un nombre positif s tel que D (a) + e < D (b) — &.
D'autre part, pour toutes les valeurs de n au-dessus d’une certaine limiten >y,ona pn(a) —+(a|<e, |n (b) — E (b)|<e&.
Il s'ensuit que, pour ces mêmes valeurs de n, on a
Pn (a) < n (b).
La fonction y, (u) doit donc augmenter effectivement lorsque u croît de a jusqu’à b. Cela n’est possible que si l'équation Qen (— 2) = 0 a au moins une racine entre a et b. Comme cela doit arriver pour toutes les valeurs de n qui surpassent », on en conclut que l'intervalle (@, b) est de première espèce, contrairement à l'hypothèse admise. On a donc bien (a) = Ÿ (b).
Pour # >», on aura toujours (pPn@)—P(@|<e, | Pn (®) — Pb) | <e; mais, puisque ® (a) — ® (b), il est évident qu'il s’ensuit Ipn(u) — P(W)|<e, pour toutes les valeurs a=u< b.
C'est là un résultat important; il suppose que l'intervalle (a, b) soit de seconde espèce et que a et b soient des points de continuité de ®(u) et de toutes les fonctions ,(u). Dans le cas a —0, l'intervalle (0, b) peut être de seconde espèce, mais voici dans quelles circonstances seulement. L'équation
| Qan (— 2) = 0 ne doit jamais avoir une racine égale ou plus petite que b; car, si cela arrive, l'équation Qen (— 2) =0
a toujours pour » >n une racine dans l'intervalle (0, b), qui serait ainsi de première espèce. Donc, si l’intervalle (0, b) est de seconde espèce, on a toujours
Pn(b) = 0, et par conséquent ®& (b)}— 0. Les fonctions \(u) et æ (u) sont identiquement nulles dans tout l'intervalle
OZ<u< b.
46. Soit L un nombre positif quelconque et considérons l'intégrale
J 1n(u) — & (u)| du.
Entre 0 et L, j'intercale &— 1 nombres w,, %, ..., Ux-1 UM =O0 LU LU LL... L'Ur-1 L'Ux = L,
d’une façon quelconque. Je désigne par + l'étendue du plus grand des intervalles (w;::,40:), (i=1,2,...,k).
Pour simplifier un peu les raisonnements, je supposerai qu'aucun point w; (i—1,2,...,k) ne soit racine d’une équation
ou un point de discontinuité de & (w). Puisque l’ensemble des racines et des points de discontinuité de & (u) peut se ranger sous la forme d’une suite infinie, il existe de tels points w; dans tout intervalle. Le point #,—0 n’est pas une racine, mais il peut être un point de discontinuité pour &(u). Cependant, cela ne peut jamais arriver lorsque l'intervalle (w,, #,) est de seconde espèce, car alors ® (u) est nulle dans tout l'intervalle.
À chaque intervalle (u;:1,u;) j'associe maintenant un nombre entier »; de la façon suivante. Si l'intervalle est de première espèce, je suppose que le nombre »; est tel que, pour n > »;, l'équation
a au moins une racine dans l’intervalle.
Si l’intervalle est de seconde espèce, je suppose que, pour n > »; et
Ui—1S<U £ U:, on ait
IPn(u)—B(U)i<e!,
e’ étant un nombre positif arbitraire, le même pour tous les intervalles de seconde espèce.
Cela étant, soit N le plus grand des nombres VIS VS ee ET VE je supposerai désormais n > N, et je cherche une limite supérieure de
l'intégrale [Len 00) — & qu) au.
Pour cela, je la décompose dans une somme de k intégrales
k ee eat
Si l'intervalle (u;1,u) est de première espèce, la fonction Pn (U) aura au moins un saut brusque dans l'intervalle pour u = c et
— + Pn (oO = E (0) < pn (c).
Les deux intervalles [on (ui 1), En(w:)] et [®(u;:-:1), d (u)] auront donc au moins un point de commun, par conséquent
Pn (ui) = D (Ui—:), D (ui) = Pn(u: 1).
Dans tout l'intervalle, on a évidemment
Pn(ui-1) — D (ui) = pn(u) — D (u) £ n (wi) — P (ui-\),
et à plus forte raison
Pn(u) — D (4) £ pn (ui) — pn(ui-1) + D (u) — D (ui), Pn(u) — D (u) = pn(ui-1) — pn(ui) + D (u:1) — D (us),
c’est-à-dire
| Pn(u) — D (4) | £ nf) — pn(ui-1) + P (ui) — P (ui).
On en conclut
‘: Ipn(u)— P(u)|du£ ef pn(u:) — pn(ui-1) + D (ui) — D (wi :)4. Le facteur qui multiplie & est la somme des variations de fonctions Pn(u) et ®(u) dans l'intervalle (u;;,u;) La somme de toutes les in-
tégrales [Un @)— & (0) | au,
Vi:
pour lesquelles (u;;,u;) est un intervalle de première espèce, a donc pour limite supérieure
€ (0, + 0), 9, étant la somme des variations de p,(u) dans ces intervalles, o, la somme des variations de ®(). Il est clair que 5, est inférieur à la variation totale de y, (u), c’est-à-dire à
Pn()— pa (0
De même 0, est inférieure à la variation totale de æ (x) qui, elle aussi,
1 er ; ne peut pas surpasser Es On peut donc adopter pour limite supérieure
s . 26 de la somme considérée l'expression De £
Si l’intervalle (u;1, w;) est de seconde espèce, on aura dans tout l'intervalle, à cause de la valeur de n > N >»,
|Dn(u) — P(u)| Le’,
"i [Dn(u) — D (u)| du Le’ (ui —u;;).
Mi:
La somme de toutes les intégrales de cette espèce sera donc infé-
rieure à Le’, puisque la somme des intervalles est évidemment inférieure à L.
D'après cela, il est clair que nous pouvons énoncer la proposition suivante :
L,e,e! étant des nombres positifs arbitraires, il existe un nombre entier N tel que, pour n >N,
L 2e [lent — @(u) | du < TE + Le
