Il est évident que

ae =frnts

Qon(2 J 2+u ] (+uÿ” Pon(z ? D(u)d du En (u ) — D (u) on J G+ÿ— pE Guy 1%

2 étant un point quelconque non sur la coupure. On en conclut

Pon() jeŒ(u)du| je |pulu)—œ{u)| QE) | G+uÿ <J abus +

La limite supérieure peut s’écrire

L | gn (0) — ® (u)| |pn (u) — ® (u).

er mo Papas du

Adoptons deux nombres positifs &, e! et déterminons N comme dans le n° 46, on aura, pour n >N,

first ne 0 ges AR ra

(2) Étant, comme au n° 83, le minimum de |z2+ |, lorsque « varie de 0 à w.

Pour l'intégrale entre limites L et w, j'observe que

IPN PR a et pour z=a<+fBi,

la+ul=(u+ 0) + F2 (u + a),

2 |qn(u)—D(u)| ] | run 7 Ha PRE bts

en supposant que L + a soit positif.

Il vient donc

Re — © p(u)du Qzn (2) / (2 + uŸ

Or les nombres L,e, es’ étant arbitraires (ou à peu près), il est clair que la limite supérieure peut être rendue aussi petite qu'on le voudra. Il est ainsi démontré que pour tout point z non sur la coupure, on a

Pen(z) RO =f 50.

zbLu

lim

n —= 00 Qon(2) 0 (2 + u) ne

Nous savions déjà que Po ñn (2) Qzn (2)

tend vers une fonction holomorphe F (2); nous voyons maintenant que cette fonction peut se mettre sous la forme

”a&(u) FO] pu

Quant à l’uniformité de la convergence, il résulte de la limitation

obtenue que la convergence est uniforme dans tout domaine $S où la