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On voit qu'on obtient ainsi en même temps le développement de J (a) et de K(a). Quant au terme complémentaire R,, la méthode adoptée par M. Lipschitz lui permet d'établir que la valeur absolue de R, est inférieure à T, +1. De même, R/ est inférieur en valeur absolue à T,41. On peut resserrer un peu ces limitations, et faire voir que R, et R, sont positifs, ce qui entraîne déjà que R, est inférieur à T, et à Th+1, R, à T, et à T,,,. En effet, on a

d’où l’on conclut

co 2 œo EM (61) | &0 02 1 me “à pr | pi € TR — du, 1u iu ns V1—5* V/1 Pas J / 1+ sin v

(62) ; Lot nn , af à 7 *wisin v j i ra fi 1+ 14 ” sint »

En employant l'identité

7 2n , =} LP 1 u° mi on = 1 — —— sin v + +(5) sin 495 —— —, u? 4a° 24 u :

1+ 5 sin v 1+ sin" v

on retrouve les séries semi-convergentes déjà données, mais avec ces expressions des termes

| m4 nt an y (63) . . B= __— ne JE int v D e-uyr+é gintr+2y (64) . . .. pee 0e.

: . 2 sin v

24. Lorsque a est grand, l'indice du plus petit terme dans chacune des séries semi-convergentes (59), (60) est à peu près égal à a. En posant a —n +», on peut développer R, et R, suivant les puissances descendantes de n. Pour faciliter un peu les calculs nous remplaçons w par 2au, cot’v par v, en sorte qu’il vient

2a PR Ciel À du dv VS “ff | 1 F5) Vuv ot 24 ee 2n Cal de u m=l® sf (4e) mou Pau de

Lorsque n est grand, ce sont seulement les parties dans le voisinage de u—1, v—0 qui ont une influence appréciable, et quand il s’agit d'un développement suivant les puissances descendantes de #, on peut borner l'intégration au voisinage de ce point u—1, v—0. Considérons R, et partageons l'intégrale en deux parties. Dans la première, « variera de 0 à 1; dans la seconde, de 1 à «.

Dans la première partie, on posera

We te", 1—u=V2r—-g + LV —..., 1H0—=er,

RECHERCHES SUR QUELQUES SÉRIES SEMI-CONVERGENTES. 43 et l’on trouve un résultat de la forme

24 ffe-ee-anertur Œars2 y°)dx dy,

les coefficients &,, étant des polynômes en », et a, —0 lorsque s est impair.

Dans la seconde partie, on posera

Né” amet, u—1—xV2+..., 1+u—=e,

et l’on trouve cette seconde partie égale à

2 ffe-tee-ane + [Z i——- 1)" &,s 4 y‘]dx dy.

La réunion des deux parties conduit à l'expression

9 e—2a 20 [ fe-snets CE U2r,28 42?" y?°] dx dy,

et le développement de R,, suivant les puissances descendantes de », est

R,—=e-2s je + tete +.)

En nous bornant aux deux premiers termes, nous avons obtenu

‘# [I 71 1 1\1 (65) . : mme + nt intie cl et, par des calculs tout à fait semblables, k ire [1 { ; 1 1\1 (66) Re ae nn =6"* Pts +(Gr-gn— 5).

Dans les deux cas, le reste du plus petit terme est à peu près égal à la moitié de ce terme.

25. Considérons maintenant les fonctions J (ai), K (ai. La première conduit à une série semi-convergente de seconde espèce, dont nous

nous occuperons plus tard. Quant à K (ai), à cause de

| Bit

it

K (ai) = — iJ (ai) + re

on voit que nous avons à nous occuper, en ce moment, seulement de la partie réelle 2 co eau

— ——— du.

ni Vu —1

En posant u — 1 + on trouve

m2 a=1e-.V2? LS 2 TT a Vi + 2 0 24a ou bien

(EN ee? de LL 142 sin? u

On en déduit, par le nr

; : ETS Gas sin?” % - à =1— snut...+() sin?*—2u + , Soi 1+,: sin u 145 nn F1 13 13, 8 1°.8°...(2n — 3) ao ES EL VE Ï.8a T1.2.@aÿ ""+j5 M — Da" FR}

D p —V n—} 2n Ry = svaf £ : He 2 dv 14 sin u

Ce développement semi-convergent a été donné par Riemann. L'indice du plus petit terme est à peu près égal à 24, en posant 2a=n—+, nous trouvons