Nous devons nous occuper maintenant de la fonction

1 +1 p—ar

J ] = — — dv.

AT L 1: Vi— En posant v——1+424u, il vient ea rl e-2au 70 . . . . à . . J ai = — > du, (70) aaaes

Le développement de | man, suivant les puissances ascendantes

Mi — de , conduit sans aucune difficulté à cette série semi-convergente

È " 1? 12.82 REP TLT |Hies 88 ob list . ŒBaÿ Tr:

donnée par Riemann, mais on n'obtient point ainsi une expression simple du terme complémentaire.

Pour nous débarrasser du radical V1 —#, nous observons que

en sorte qu'il vient

à Jan=S f v-Hd0 rt. du.

0 0 L'intégration dans le second membre s'étend sur la bande infinie VOAB (Fig. 5) de largeur OA — 1, et l’intégration, par rapport à w, ne s'étend que jusqu’à # — 1. Afin de franchir cette limite et de pouvoir étendre l'intégration sur une bande VOCD d'une largeur arbitraire OC —=L, nous observons que

nu de he ide 2 LH VERS), v — 2 v—k k kEVR—

VER LS QE Da vf Jp de.

Si donc nous excluons du champ d'intégration la bande infiniment étroite limitée par les deux droites parallèles

1—u+v—=+e, nous pourrons étendre dans (71) l'intégration sur la bande de lar-

geur L, VOCD; car, en intégrant d’abord par rapport à v, l’équa-

Fig. 5.

tion (72) montre que les parties qu’on ajoute ainsi se détruisent. En faisant croître L indéfiniment, nous écrivons sommairement

—U+0 Vu le sens précis qu'il faut attacher à cette formule résultant des explica-

tions qui précèdent.