CHAPITRE VIIL
, e d u ÉTUDE DE L'INTÉGRALE Î dy (u) z2+u
51. Soit y(u) une fonction croissante quelconque [y (0) —0], nous supposerons seulement que la distribution de masse quelle représente a des moments finis d'ordre quelconque, et nous poserons
ati u* dy (u).
Considérons maintenant l'intégrale
1 dy(u) 1 414.
qui représente une fonction holomorphe dans tout le plan, excepté la coupure. Si la fonction y (u) est constante à partir de u = a, l'intégrale se réduit à
‘3 dy (n)
et la coupure ne s'étend que de # —0 jusqu’à u—— a. Tous les moments sont alors finis dès que cela est le cas pour c, — y (a). L'intégrale admet évidemment un développement asymptotique
qui est divergent en général et convergent pour |2| > a dans le cas particulier que nous venons de mentionner.
Mais on a toujours, lorsque z— x est réel positif, d'y (u c #t Se. Ëc DER SE HO IEEE (<<) Le développement en fraction continue de cette intégrale, ou, à
proprement parler, de son développement asymptotique, a fait l'objet des recherches de Tchebicheff, Heine, Darboux.
Nous allons reprendre ici cette étude, en nous attachant surtout à la question de la convergence, qui n’a guère été considérée dans les travaux antérieurs que nous venons de rappeler, et dans lesquels on a pris toujours la fraction continue sous la forme (1) (voir l’Introduction).
Pour réduire la série en fraction continue, on n’a qu’à appliquer les formules du n°11, les déterminants A, et B, seront positifs comme déterminants des formes quadratiques positives
[ @o+tuxi+wx, +. +ur-ix, 1 dy(u),
[ "æ+ uX,HuX, +... Hurn-1X, 1) dy(u).
On trouvera donc une fraction continue du type que nous avons étudié, les a; étant positifs.
Dès lors, nous pouvons appliquer les résultats obtenus par l’étude directe de la fraction continue. Deux cas sont à distinguer :
1° La série > an est convergente.
Dans ce cas on a
Lo)
OP : DU: Wir d®(u) ot) re 2 FEU | 2+u
lim 2410) pe) 2 — à a =f{ ap, (u),
D, 7” aq), ' 2 + 6; D zu 20 La série 3 an est divergente.
Dans ce cas, on a lim & M =ru=) : ur
. ae »e ® dy(u :
Mais quels rapports ont ces limites avec l'intégrale Lu dia été l'origine de la fraction continue ?
52. Pour répondre à cette question, supposons d’abord z = x réel et positif. On a alors ce théorème (voir Comptes rendus, t. CVIIT p. 1297; 1889):
Le minimum de l'expression
est égal à
” d y(u) ha Pon (x) ! xz+u Qon(x)
et l’on a donc nécessairement
[a Pon (x) x+u 7 Qu (x)
La vérification est facile ; posons L—1+X (+ u) + Xe (x Hu) +... + Xa(x + u)";
les conditions du minimum sont
Dora . [@+m*gav (0) =0 Chi 08, 9, C1
Ces relations sont visiblement équivalentes à celles ci
['urgay()=0 [k=0, 1,2,...,(n—1)],
ou bien, si l’on se souvient le symbole $ introduit au n° 11, S fuk SI — 0 [k—0, 1,2,...,(n—1)]
D'après la formule (3) du n° 11, le polynome £ dans le cas de minimum, ne diffère donc que par un facteur constant de Q:,(— uw), et,
puisque £ se réduit à l’unité pour u——x, on aura Es Qon us u) 5 M Qon (x)
Le minimum est
ci g=f" a SO+X;(œ+u) +... +Xn(x + u)"], 0 0 |
ce qui, à cause des formules (1), se réduit à
“dwy(u) ,, __fdy(w) 1 ® Qon (2) — Qon(— U) FSrus=] xz+u Il + u hd
La dernière intégrale est évidemment égale à
Qon (&) — Qu (— 4) APE s| æ+u [= Pan (0),
ce qui achève la démonstration.
On vérifiera aussi aisément ce second théorème :
Le minimum de l’expression
® ud
est égal à
Pon+1(2) -f d'y (u) Qon+1 (x) x+u
et l’on a donc nécessairement
Pon+1(x) | f°du(u) Q2n+1 (x) ] xæ+u
A ces théorèmes, j’ajouterai la remarque suivante: Dans le cas du premier théorème, £ est le polynome en « le plus
général qui se réduit à l’unité pour u—=—x. Or (= est aussi un tel
polynome; on aura donc
une pan
z+u Qon(@) a (x + u) c’est-à-dire Pan (@) | Co Ci y C2 ___ __Can—1 QG & Te am?
et l’on trouvera de même
Pan+:(2) > Co Can Qui @) x a ++
Ces inégalités, nous les avions obtenues déjà (n° 15), mais rappro chons-les maintenant de celles-ci
P n me : : Po 2 @</ po 2n +1(€)
Qo n (X) xz+u ET à Pour calculer numériquement l'intégrale fe dy) x+u on peut se servir de la série (même divergente) LOL ER EE. ee pr JR moi
la somme d’un nombre pair de termes donnera toujours une limite inférieure, la somme d’un nombre impair de termes une limite supérieure.
Mais on peut aussi réduire la série en fraction continue: les réduites successives donneront encore alternativement des limites supérieures et inférieures.
Nous voyons maintenant qu’il y a toujours avantage à réduire la série en fraction continue: les limites données par les réduites sont . plus rapprochées que celles données par la série.
La limite de l’approximation que peut donner la fraction continue est caractérisée par ces inégalités
® d'y (u) F (x) < SF, (x).
J xz+u
53. Il est facile maintenant de répondre à la question posée à la fin du n° 51.
Dans le premier cas, lorsque la série
DE est convergente, nous savons que le problème des moments est indéterminé (n° 24). C’est dire qu'il existe une infinité d’intégrales ° dy (w) © d'y (u) © d ya (u) Jeu tt Aer
qui sont des fonctions holomorphes distinctes de z, qui donnent le même développement asymptotique
et, par conséquent, aussi la même fraction continue. Le calcul des réduites de cette fraction continue conduit à deux
limites o dœ(u) plz) mi J tnt in) DES n
e dœ(u)pi(z) WT vi a CE 0;
mais on ne peut établir évidemment aucun lien précis entre ces deux fonctions parfaitement déterminées et une intégrale telle que
Î z+u puisque cette fonction est susceptible de varier.
La seule chose qu’on peut affirmer c’est que, pour 2=2%, On aura toujours |
(x) æ+u TT (x)
Les fonctions ®(u) et æ, (u) figurent d’ailleurs aussi parmi les déterminations possibles de y (u).
TR dp (u) - px) qg (x nm
On ne peut pas avoir, pour une valeur particulière x=%, P(&o) fo dy (u) , q (Xo) 9 TF4 sans qu’on ait identiquement dans tout le plan non gré Pé2 q (2) z+u } z2+u
et les fonctions y (u), ® (u) peuvent être considérées comme identiques,
puisqu'elles caractérisent la même distribution de masse. En effet nous avons vu que
4 dy (u) __ Pen (&o) =f d'yp (u) [Qan(— D.
Zu Qan (To) %o + U L Qan (Lo)
Or, si le second membre tend vers zéro pour n =, comme nous le supposons ici, cela aura lieu à plus forte raison lorsqu'on remplace x; par un nombre plus grand. Par conséquent, on aura
af ge J 2+u
dès que z est réel, positif, plus grand que x, Mais alors cette égalité aura lieu dans tout le plan. On verra de même que l'égalité
Pi (Go) __ f d'y (u) QU (Go J %+u
entraîne l'identité
1 (2) À 2+u Tant que la distribution de masse, caractérisée par y(w) n’est pas
identique à une de celles représentées par ® (x) et ®,(u), on aura
p (x) dy(u) p,(x) ae 2+u <q &
l'égalité étant exclue.
54. Dans le second cas, la fraction continue est convergente et l’on aura, pour z2=%,
P, (x) ni ;
x+u Que J xzEu”
car, dans ce cas, F (x) —F, (x). Il s'ensuit que l’on a dy (u) f”dæ(u), Lire cl 0 0 car cette égalité ne peut avoir lieu pour z2—x sans avoir lieu dans tout le plan. Les fonctions w(u) et & (w) seront identiques ou elles représenteront au moins la même distribution de masse.
On voit aussi que le problème des moments est déterminé dans le cas actuel, et qu'il n’admet pas d’autre solution que celle caractérisée
par la fonction & (u) ou y(u). En effet, si le problème avait une autre solution caractérisée par w, (u), l'intégrale
[EE z2+u
donnerait toujours la même fraction continue, et il s’ensuivrait
free les
Il est à remarquer que ce second cas peut arriver, même lorsque le développement
Co CG C2 z to ON est toujours divergent. En effet, la série est dans ce cas lorsque Cn+1 Cn
croît au delà de toute limite. Nous savons que, pour cela, il faut et il
suffit que les nombres
TT SENS n— 125932) ne soient pas limités supérieurement. Or, il est clair que cela n’empêche nullement la série | Hh+aæ+as+...
d’être divergente. On pourrait, par exemple, prendre arbitrairement tous les a;, exceptés ceux d’une certaine suite infinie Bu Ori Ge et déterminer ensuite ceux-ci de façon que les nombres 1 1 1 Gp Ap+1 dgag+1 Ar Ar+1
croissent au delà de toute limite.
55. Pour donner un exemple de la théorie que nous venons d’exposer, considerons l’intégrale
© [1+H2sin(fu)]e- Î Tu du
où —1<i<I1. Puisque dy(u)=[1+isin(Wu)]le-Wuau, nous avons affaire ici à une distribution de masse à densité finie. Cette
distribution varie d’ailleurs avec le paramètre 1. Mais, si l’on calcule les moments, on trouve
= f'ute-#x du (k—0, 1, 2, 3,...):
ils ne dépendent pas du paramètre 1; en effet, on vérifie sans peine que les intégrales
fu sin (Wu) e-Viau=4 [ ut%+5sin ue“au (k—0, 1,2,8,...) ‘0 0 sont toutes nulles. Le problème des moments a donc manifestement une infinité de solutions ; nous sommes dans le cas indéterminé, et il est certain que des valeurs des a; seront telles que la série
Le
est convergente. La fraction continue donnera deux limites
DE) LV pe, BY g (2) LoEr ARE) DRE
et les distributions de masse (u;, ;), (»:, 0;) constitueront encore deux solutions particulières du problème des moments. Mais on ne peut établir aucun lien précis entre la valeur de l'intégrale et les limites fournies par la fraction continue. Toutefois, lorsque 2 — x est réel positif, on pourra toujours obtenir des limites supérieures et inférieures de l’intégrale en calculant les réduites. Mais, puisque les c, et les az ne dépendent point de À, on voit qu’on ne tient aucun compte de la partie
du—=nie-Vix,
1 (° Sin (Wu) e— Vu Î xæ+u
Puisque À peut varier de — 1 à +1, on en conclut nécessairement
P1(x) PS o,,-W1z LE) ne
La fraction continue ne peut donner qu’une approximation limitée, comme c'est le cas aussi du développement en série, En calculant a,, &, ..., On voit que ces nombres suivent une loi très compliquée, en sorte qu’on ne peut pas vérifier directement la convergence de la série
Ÿ en
56. Je donnerai encore un autre exemple dans lequel cette vérification peut se faire, | Soit f (4) une fonction impaire et périodique de 4,
fu+h= +),
alors l'intégrale
J w u— lou f(logu)du,
où 4 est un entier quelconque, positif. nul ou négatif, est toujours nulle.
Pour le voir, il suffit de remarquer que
+ 1. e—* f(v) dv = 0
et de faire la substitution
D = — . + log u.
Ainsi, dans le cas f(u) — sin (2xu), É uk u lou sin (2x logu)du—=0.
Je considère maintenant l’intégrale
= 1 + sin (2x7 logu) “ Var 2+u
— leu qu, où “ist,
On voit que les choses se passent comme dans l’exemple précédent ; la valeur de
D f: re lu+s is val uk u—IEu qu — x ee + Du qu = ei TT TT
0 — co est indépendante du paramètre 1.
La fraction continue doit donc être oscillante; cela se vérifie ici
directement, puisqu'on a A ne) (1—e-1) ( — ei) Fan CRE a Pa à 2n+1 AT ah ie (1 —e—1) (6-5) ie 408
À cause de e > 1, la convergence des séries
D an, D anti
est manifeste. Pour abréger, je supprime le calcul qui donne les valeurs des a, (et qui reste valable sans qu’on ait besoin de supposer que e ait la valeur particulière 2,71828 . ..).
Dans le cas actuel, la différence P1(x) __ p(x) (x) g(x) doit surpasser nécessairement 2 L sin (27 log u) RS M)
Va æ+u
po
57. Comme exemple du cas déterminé, je rappellerai d’abord la fraction continue étudiée par Laguerre, dont nous avons parlé dans l'Introduction. Puisque, dans ce cas, |
Gon—1 =], PARENT OA la fraction continue est convergente et représente dans tout le plan, excepté sur la coupure, l'intégrale
k mé
La masse s'étend ici à l'infini, et, en effet, les nombres b, = n Un +1
ne sont pas limités supérieurement.
Dans le cas où la masse ne s'étend pas à l'infini, la fraction continue est naturellement toujours convergente, car le développement en série est alors même convergent pour des valeurs suffisamment grandes de z.
Comme exemple de ce cas, considérons une fraction continue périodique telle que |
bon =D, Dan-1 = 9.
On connaît, dans ce cas, immédiatement la fonction F (2)
F(=VÈE+as+ 6 = —s:+p—0
n ik n an = (2) , ame (À) ;
l’une des deux séries
et
[ce] a ) A2k; ) A2k+1 1 0
sera toujours divergente. Mais la fonction F (2) doit pouvoir se mettre
© db (u) Î Lu
sous la forme
et l’on a vu, dans le n° 39, comment on peut mettre F(z:) sous cette forme, si l’expression explicite de F(2) est connue.
Ce calcul conduit ici aux résultats suivants. Deux cas sont à distinguer selon que p à q.
Premier cas: p > q.
Posons a=(Vp —V), B=Vp +Va),
on aura
Ainsi il y a, à l’origine, une concentration de masse égale à Va B—p—, puis une distribution continue de masse dans l'intervalle (a, B).
ne trop du
Second cas: p < Q.
On trouve simplement
__1 [ÉVu—a)(B—u) du.
14e Ent ua ces
la masse concentrée à l’origine du premier cas a disparu. Dans le cas particulier: p=Qq, on a a —0, et l’on peut appliquer l’une ou l’autre des formules trouvées. Il n’y a pas de masse concentrée à l’origine, mais la densité y devient infinie.
Dans le premier cas, la série
Le)
D aor+1
est convergente, et sa somme est 1 : (p — Q).
58. Nous allons montrer que, toujours dans le cas déterminé, la masse concentrée à l’origine est
Le +] He D a+;
elle est nulle lorsque la série est divergente. Dans le cas indéterminé, Le 3 A2k+1
est le maximum de la masse qui peut être concentrée à l’origine; elle s’y trouve, en effet, dans la distribution
(vi, 6:), puisque
mais, dans toute autre distribution, la masse concentrée à l’origine est moindre. | Je rappelle la limitation
[sr
RECHERCHES SUR LES FRACTIONS CONTINUES. 5ii
nous savons (n° 15) que
limæF: (x) = 1: LE Qa2x+1.
Nous allons montrer que
lim D a = lim y(s)—= y en désignant par # la masse concentrée à l'origine. En effet, ® xdwy(u) __[”xdy(u) Va x d'y (u) Cu) L zdy(@u) Î z+u — Hu +] a+u +f æ+u et il est évident que © xdwy(u) y (x?) roue O<F< 0 V’x x d — [tu <v0D ve, ® x dy (u) a V ï x+u < tro) y ( æ)];
la première intégrale tend vers w, les deux autres vers zéro. Dans le
cas déterminé, on a
® dy(u) | z+u = F, (x);
il vient donc u= 1: 2 Q2 k +1:
Dans le cas indéterminé, on peut conclure seulement
ao m£Sl: Ÿ as,
et cela pour toutes les distributions équivalentes qui donnent les mêmes
moments et la même fraction continue.
Nous savons d’ailleurs que, pour la distribution caractérisée par
®,(u), on a
co
4=V= | : D ass.
Je dis maintenant que, pour toute autre solution du problème des mo-
m< 1 DAC
En effet, admettons que, pour ,{x) et (uw), on ait
u= 1: D aor+r
Si, dans chacune de ces deux distributions (supposées différentes),
ments, on a
on enlève la masse concentrée à l’origine, il restera deux systèmes de masses donnant encore les mêmes moments, c’est-à-dire équivalentes. Il existe alors une troisième distribution de masse, équivalente à ces deux-là et qui a, à l'origine, une masse finie uw’. Cette distribution est caractérisée par une fonction &;(#) analogue à ®æ,(u). En rétablissant maintenant la masse u, on aurait une solution du problème des moments primitifs, avec une masse u + y” à l’origine qui serait supérieure à
(ee)
