D as+r

Cela est impossible, d’où la proposition énoncée.

59. Dans le cas où la série D est divergente, nous avons vu que la fraction continue est convergente et que la limite des réduites est

F@=/f ie

Il est clair maintenant que la fonction ® (4) qui figure ici n’est assujettie dans un intervalle quelconque (a, b), à aucune autre condition restrictive que celle d’être croissante. Il s'ensuit qu’en général la coupure est bien une ligne singulière à travers laquelle il est impossible de continuer analytiquement la fonction F(2). En effet, pour que cette continuation analytique soit possible à travers l'intervalle (— a, —b) de la coupure, il faut que la fonction & (x) soit une fonction analytique de w dans l'intervalle (a, b). Or c'est là une condition très restrictive qui ne sera point satisfaite en général.

Mais, si l’on veut donner des exemples particuliers, on ne peut guère commencer par se donner les 4,, ou cela n’est possible que dans des cas très restreints. Il faudra bien se résigner à prendre pour &% (u) quelque fonction analytique, ainsi s'explique qu’en réalité nous n’avons pu donner aucun exemple du cas général dans lequel la coupure est une ligne singulière. Dans tous nos exemples, la coupure est seulement une coupure artificielle.

60. La fonction y(u) étant donnée, ou la distribution de masse qu’elle représente, comment peut-on savoir si la fraction continue pour

[us

est convergente ou divergente? C’est là un problème qui présente quelques analogies avec celui qui consiste à décider de la convergence ou de la divergence d'une série donnée. On n’en peut guère donner une solution générale; tout ce qu'on peut faire, c’est donner quelques règles qui permettent de répondre à cette question dans un certain nombre de cas particuliers. Lorsque a fraction continue est convergente, le problème des moments n’admet qu’une seule solution; nous dirons aussi, dans ce cas, que la distribution de masse représentée par y (u) est déterminée. On ne peut guère faire varier cette distribution, sans introduire des masses négatives, si l’on veut conserver les moments. Or les masses négatives seront toujours exclues. La distribution de masse est indéterminée, au contraire, lorsque la fraction continue n’est pas convergente, mais oscillante.

Voici d'abord quelques remarques qui sont à peu près évidentes. Si, à une distribution de masse indéterminée, on ajoute de nouvelles masses, on restera toujours dans le cas indéterminé. Si, à une distribution déterminée on enlève une partie de la masse (toujours sans introduire des masses négatives), on restera dans le cas déterminé.

Dès qu'on trouve deux distributions équivalentes qui ne sont pas identiques, on est certainement dans le cas indéterminé.

Qu'on veuille bien se reporter maintenant aux formules (8) et (11) des n° 11, 12, par lesquelles les sommes

++... +aent, a +a;+...+aon

s'expriment au moyen des cz.

On trouve facilement que,

De DC XiXx = F(X, DES AA LS Où 0 0

étant une forme quadratique définie et positive, le minimum de

TU, x XL, 14 s'exprime par

Dès lors, on reconnaît que le minimum de | (+X,u+...+Xiu’) dy(u)

est égal à

(4 ét, . agi),

et le maximum de f'u-a+rutxu+.. + x 00

est égal à a + a +... + ao.

RECHERCHES SUR LES FRACTIONS CONTINUES. 515 : On trouve, du reste, facilement que, dans le premier cas, on a

X; Las —— . E % g — U Q2n+1(0)

et, dans le second, IHX,u+...HXuut—=Qon(— 4).

Pour abréger, nous écrivons le premier résultat ainsi dy (in 1i(u Hasta)

Remarquons que l'intégrale, dont fdwy(u)}, est le minimum, a pour u—=0, un élément égal à la masse y concentrée à l’origine; on a donc

U € sdp(u)in,

en sorte qu’on retrouve, de cette façon, la limitation

= 1: Dar.

Lorsque n augmente, $dy(u)}, ne peut que diminuer; pour n=, cette expression tend vers une limite positive ou nulle que nous re-

présenterons par

sd y (ui, = 1: d A2 x +1:

61. Considérons d'abord le cas où il n’y a point de masse concentrée

à l’origine. Nous savons que, dans le cas déterminé, la masse concentrée à l’origine est égale à |

1 DCE

id (u)i, = 0.

Mais, dans le cas indéterminé, la série

ee)

D asr+

est convergente et par conséquent

{dy (u)}, > 0.

Ainsi, s’il n’y a point de concentration de masse à l’origine, la frac-

tion continue sera convergente ou oscillante selon que fd y (u)t, est nul ou positif.

Si la distribution 9 représentée par y (u) a, à l’origine, une masse y, enlevons cette masse et soit 9’ la distribution ainsi modifiée. Supposons que, d'une manière ou d’autre (par exemple, à l’aide de la proposition précédente), on sache si la distribution ®D’ est déterminée ou indéterminée, qu’est ce qu’on en peut conclure pour 9?

Si la distribution 9’ est indéterminée, ® est aussi indéterminée. Si, au contraire, D’ est déterminée, je dis que ® est aussi déterminée, en général; il faut faire exception seulement pour un cas singulier que nous indiquerons. En effet, voici comment on peut conclure dans le cas où ® serait indéterminée, ®’ déterminée. Soit ®, la distribution équivalente à D, mais qui a, à l’origine, la plus grande concentration de masse possible, cette masse étant x. Elle est donnée par une

» db,(u) pi() WT Re CT

fonction %,

et »—4. Tant que D nest pas identique à D,,on a M >.

Enlevons à ®, la masse u (ce qui peut se faire sans introduire une masse négative), on aura une distribution 9; équivalente à D’. Donc, si 9’ est déterminée, 9, et D’ doivent être identiques, et, par exemple, aussi D et 9,..

On peut donc dire, si 9’ est déterminée, 9 l’est aussi en général ; il y a exception seulement lorsque 9 est une distribution du type (v:;, 0i)

62. Je vais supposer maintenant, comme cela arrive dans les exemples particuliers qu’on peut traiter,

dy(u)=f(u) du, f(u) étant une fonction positive et généralement continue. On a ici

sf(u) dut, = minimum de [ rtu) SHX,u+...LX,urt du. ‘0

D'abord, dans certains cas particuliers, on sait calculer ce minimum, ou obtenir la fraction continue. Ainsi, par exemple, dans le cas

ba (] ua—le—-bu

dun on trouve :

He. ee grDs PA EL CRE Cut à LE a a(a+1)...(a+n—1)

io tou — Ds

: Le) Puisque a > 0, on voit que la série à a2k+1 est divergente, donc

Input 20.

Il est clair que, c étant une constante positive, on a

if(cu)duin = = if(u) dun, f(cu) dut, = : if(u)dut.….

D'autre part, si f(x) : f(x) reste inférieur à un nombre fixe, on aura ifi(u)dui, =0,

dès qu'on sait que if(u) du, = 0.

Si, au contraire, le rapport fi (u) : f(u) est constamment supérieur à un nombre positif, on aura certainement fi (u) dus, 0, dès qu’on sait que jf(u)dui, > 0.

63. On peut aller plus loin dans cette voie, et nous démontrerons cette proposition.

Supposons que.

if (u) dus, —=0,

et que le rapport f,(u):f(u) a un maximum fini M, dans l'intervalle (a, ©) (ce nombre M, pouvant d’ailleurs croître indéfiniment lorsque a tend vers zéro), alors, je dis qu’on aura aussi

if. (u) dui, = 0.

Pour le démontrer, soit s un nombre positif aussi petit qu’on le voudra. Je détermine d’abord un nombre positif a par cette condition

J'imaux se

Soit ensuite f(u) une fonction qui est nulle dans l'intervalle (0, a) et égale à f(u) pour u > a.

On aura

r@aut= | ffu) S(uÿ du = [ ro £ (u} du,

Q(u) étant un certain polynome du degré n en % et qui se réduit à l'unité pour 4 = 0.

D'autre part, si l’on a

r@au, =" 700) £ (u} du, on aura s

fQ) aux = | f(u) Su} au= [” f(x) £ (uÿ du € {f(u) dun.

Donc, puisque nous supposons

if(u) dus, = 0,

on aura aussi

jf (u) dut, =0.

J'observe ensuite que

A GDdut, < [A 00) £(udu= ['A 0) £(uau+ | ñ(") £ (uŸ du. 0 0 a

Or, le polynome £ (u) est déterminé à un facteur près par les conditions [ FC0 £ Co n*au=0 Hset,95,..:: 1, ou

[ ro Q (u)u* du — 0.

Il s'ensuit que toutes les racines de £ (u) = 0 sont positives, plus grandes que a. Et puisque £ (0) = 1, on voit que,

dans l'intervalle (0, a), on a

0€ L(u)<1, et, par conséquent,

JA (0) £ (y du < [A (u)du Le.

Ensuite

[AG SC au LM [7700 SCD au = M 1700 au,

donc

(A (u)duin < $e+M, if(u) dun

Or, il existe un nombre » tel que, pour n >»,ona

M, tft uk, < 4e, et il est clair d’après cela qu’on a {A tu) dui, = 0. C. Q.F. D.

Dans le cas

[= ER VE gta va

la fraction continue (voir plus loin n° 86) s'obtient avec des valeurs simples des ax

par conséquent | 4du AG Et le MT Enobet de

ee)

et aussi, c étant une constante positive

du eva eva 0

Cela étant, posons

ftw=us-1e-vug (u),

= re à e°V7u e”°V7u

où a >0,b>0,42Z4, tandis que nous supposons c < b. Ensuite & (w) sera une fonction positive de u, qui dans tout intervalle (a, ©) reste inférieur à un nombre fixe. On a

AW: CM ENT Se @)e-tu+eovx(] — e— 2e vu),

et l’on voit que ce rapport tend vers zéro pour 4 =. Nous pouvons appliquer la proposition démontrée et conclure

Ua — 1 e--vuÀ G (u), — (, Ainsi l'intégrale

donne une fraction continue convergente, tant que 2=4. Supposons

À D ya—-lp—-bu g hu 1 Has au

G(u)=1, la fraction continue sera oscillante pour 1< +; pour abréger, je supprime la démonstration.

64. Appliquons ce résultat à la série de Stirling. On sait qu’en posant

logr(a=(e— 5) loge —2 + à 108 (2) + J (),

11° sd f 1 J@=, | Ft D EE .

on a

1 [zur idu 1 = “Su 6 ( re al

C'est là une intégrale telle que nous l’avons étudiée ; on a seulement remplacé z par z et multiplié par z. Le développement en série prend

ainsi la forme

(A) . RÉRE . . TUE NU £

et la fraction continue devient

On a ici

“4 Uri . à ,—2ax1v/u fu) = ue log Lena) ste G (u),

G (0) = er V* og "|

G(u) tend ici vers l'unité pour #— « et satisfait ainsi à la condition imposée à cette fonction dans notre énoncé. Il suffit donc de transformer la série de Stirling (A) dans la fraction continue (B), pour avoir une expression convergente qui représente J (2) tant que la partie réelle de z est positive.

La fraction continue change de signe avec z comme l'intégrale de Binet; dont elle est une transformation identique; mais, lorsqu'on change ainsi le signe de z, ces expressions donnent — J(2), mais pas J(— 2); l’axe imaginaire est une coupure, aussi bien pour l'intégrale que pour la fraction continue.

Le calcul des ax est très pénible ; on trouve

D L0, 4.) \309., : 1008800, Sn 0 7 16047 ‘°"

la loi de ces nombres paraît extrêmement compliquée.