Nous allons montrer maintenant qu’un système tel que
(nk , Ëk)
est celui où la masse 7, concentrée au point £, est un maximum. De même dans le système (7,, £,), la masse 7, concentrée au point £, est un maximum pour 4—1,2,3,.... Nous venons de remarquer que cela n’est plus vrai pour 4—0, le système (rx, 0x) donnant alors la concentration maxima à l’origine.
Soit a un nombre positif quelconque ; pour chercher une limite supérieure de la masse qui peut être concentrée dans ce point dans une solution quelconque du problème des moments, je vais considérer les intégrales
PE + X,(u — a) + Xz(u — a +... + Xn(u — a)"Jdy(u),
JU +R 0 + Xe — a +. + Xl — a) À avt
Ces intégrales ne changent point de valeur si l’on remplace la fonction y(w), qui caractérise une distribution de masse qui satisfait au problème des moments, par une autre fonction de même nature. On peut donc supposer que la fonction y (w) caractérise la distribution qui, au point a, admet la plus grande concentration de masse possible. D'autre part, ces intégrales ont pour # —a un élément égal à cette masse concentrée au point a. Les intégrales sont donc des limites supérieures du maximum cherché. Pour avoir les limites les plus proches possibles, nous allons calculer le minimum de ces intégrales considérées comme des fonctions de X,, X,,..., X», et ensuite nous poserons n = ©.
Posons, dans le cas de la première intégrale,
=1+X(u— 0)+... + Xutu— a)";
les conditions du minimum sont A Î £@—aray(=0 &—=1,2,...,n)
[St aura y(u)=0 [k=0,1,2,...,(n—1)].
On en conclut facilement
(u — à) £xe a Qon+1(— 4) + BQon(— 4), et, pour déterminer les constantes a et B, O—aQon+1(— a) + BQrn(— a), —l=aQu+:(-a) +8 Qi (— a).
Soit, pour abréger, A —Qon(— à) Q5n+1(— à) — Qou+1 (— à) Qu (— à); on aura
HE Q2n(— 4) Qon+1(— à) — Qon+1(— 0) Qun(— a) . (u — a) A
ou L— . Dar Q2x (— U) Qox (— à).
La valeur du minimum est
[ Save = [sav D a+: Que(— a) [ Qux(—u)dw (0); 0 0 0 0
dans le second membre tous les termes s'annulent, excepté celui qui répond à 4 —0; le minimum se trouve ainsi égal à
A 4) dy(u=-—);
et, puisque £ — 1 pour w—=a,
A — 7. dop+i Q2k (— a)
En faisant croître n indéfiniment, on obtient donc, comme une limite supérieure de la masse pouvant être concentrée au point 4, l'expression
l'[(—ad(—a)—-a(—a)g(—a)l Soit A, ce que devient A lorsqu'on remplace c4 par cx +1; le minimum
de la seconde intégrale sera a À,
Or, par ce changement de c4 en cx+1,
d2xr1 devient (a +a+...—+acx+:) @ox+2,
L Q2x+1 (2) Q2x(z) devient (a, Las+... + a2x41)
comme on le verra plus loin n° 77.
On a donc
à = Ÿ arr+2 ne ) Ù a et l’on voit facilement que
a A, = À + Qt (— à) Qrn+2(— a).
En faisant croître n indéfiniment, on en- déduit cette limite supérieure de la masse pouvant être concentrée au point a
Logona (—a+sa-on(-a).
Or, lorsque a est dans l’un des intervalles
(0, À); (8, do), (0,, À); RE le produit qg(— a), (— a) est négatif; on adoptera donc comme limite supérieure
1:[g(—a)g(—a)—q(-a)g (—a)]; mais, si a est dans l’un des intervalles
qg(— a) q (— a) est positif; la limite supérieure la moins élevée sera
