En employant maintenant l'identité

1 1 ur —1 u"

u who DhotGtte FO TG EURE)

on a évidemment

ro ro yke-2au Qu dv PO DE

vo) TENTE Vs =| mn uk e-2auqy

TOTG+D TrG&+E T(k+1) (2a)*+3 ?

et il vient

2 D. r Pb 12.8...(2n —3Ÿ 9 19=e Meresbrsent bec nent)

2an

2 a nr ue—2au du dv 6 ne ms v 2 [ ERLER EN Pen C’est cette expression du terme complémentaire, sous forme d'inté-

grale double singulière, qui va nous permettre de résoudre avec approximation l'équation transcendante R, — 0.

28. Nous posons 2a—n—+" et nous développons R, suivant les puissances descendantes de ». L'intégrale

: æ ET FU. Das du dv Ed to Va 0 ‘0

se décompose naturellement en deux parties P et Q, que nous allons

considérer séparément.

Dans la première partie P, qui est positive, on a 1—u+vze, dans la seconde partie négative Q, 1—u+v<—e.

re)

. UE . . , La fonction LE devient maximum pour #—1, v—0, et l'on ob-

Fig. 6.

tient la partie principale de P en intégrant seulement sur cette partie du champ d'intégration qui forme le voisinage du point A. Toutefois

à cause de la ligne de discontinuité AM, il faut y ajouter une bande le long de cette ligne AM. Il en est de même évidemment pour latpartie Q, et il faudrait donc évaluer P et Q en étendant l'intégration sur l’aire indiquée dans la Fig. 6; mais, au lieu de cela, nous intégrons d’abord seulement sur une aire dont la forme est indiquée dans la Fig. 7.

Fig. 7.

Nous négligeons donc de continuer indéfiniment la bande le long de la ligne de discontinuité. Nous verrons plus tard que ce procédé est légitime.

29. L'évaluation de l'intégrale P, étendue sur l'aire indiquée, s’obtient par un changement de variables.

Nous définissons d'abord une fonction y (x) pour des valeurs positives de x par les relations

tete, 1—i=p(x),

en supposant que { varie de O0 à 1. La fonction y(x) est positive et constamment croissante, (0) —0, g(æ)—1. Pour des valeurs suffisamment petites de x, on peut développer y (x) suivant les puissances ascendentes des x; nous avons déjà trouvé (n° 2)

pa)=V2r— Rat A V2 mL iirat +...

Nous introduisons maintenant, dans l'intégrale P, les nouvelles variables +, y, en posant

ue" 1—u+v—= (x)

el"

On voit d'abord que le long de AM (Fig. 7) x est constant et infiniment petit, tandis que y varie de 0 à ©. Ensuite, d’après la définition de (x), on voit que, pour v—0, on a aussi y—0, et, le long de OA, æ varie de © à 0. Nous avons donc seulement à nous occuper de cette partie de l’intégrale qui correspond à de petites valeurs de x et de y: mais, pour des valeurs suffisamment petites de x et de y, on peut développer w et v suivant les puissances croissantes de x et de y; ces développements ne contiennent évidemment que les puissances paires de y. En éliminant v, on a

ner mlbobw)]eri-#-".

Le premier terme du développement de # étant 1, on a

UuU=l+axz+Be +yp + Lez +..., et l’on détermine sans difficulté les coefficients a, B, y, .… par la mé: thode des coefficients indéterminés. Le développement de » se trouve ensuite à l’aide de la relation v —u — 1 + (x). On obtient ainsi U=1—V2r4+ ie tp LV2m+ Var...

v=p1+V2r+Re LUN Va xp +...

Il importe surtout de remarquer que tous les termes de » sont divisibles par y, car nous avons observé déjà que » et y s'annulent en même temps. On conclut des développements précédents

Vu=1—1Vir+ La+tip+LV2x +H3Vazp +...

Vo—=yli +202 x + Ha + V9 28 A V2 xp + À cause de u—v%+1—p(x), ona

du dv do

dx dx dx’

et

en sorte qu’il vient

rue“ e—1% du dv di on RÉ Vus — 2e Î fe Tdx dy,

entrer à OM | 19 Tæenl PLAN 7 (V») = et, par le développement de T, Tr du dv 1H l1—u+vo Vur

—erta] fe-netn SC rs x y°]dx dy.

L'intégration s'étend de x —e V4 et de y—0 jusqu’à certaines valeurs positives de x et de y, que nous pouvons déterminer maintenant par la condition que la série X a,, x’ y° soit absolument convergente. Il

Fig. 8.

n’est pas même nécessaire d'étendre le champ d'intégration aussi loin que possible, et il reste un grand arbitraire dans cette détermination. La seule chose essentielle à remarquer, c’est que cette détermination ne dépend en aucune façon de n. Les coefficients a,,. sont des polynômes en » et a,.—0 lorsque s est impair (Fig. 8).

30. En traitant d’une manière analogue l'intégrale Q, nous définissons d’abord une fonction y, (x) pour les valeurs positives de l’argu-

ment en posant team, t— 1= 9, (x).

t variant de 1 à . Puis nous posons

Le long de AM (Fig. 7) x est positif infiniment petit, y varie de 0 à wo. Le long de AU, y—0 et x varie de 0 à .

En achevant le calcul comme tout à l’heure, il vient