RE ETC TT
Comme on le voit, la fraction continue est convergente, et elle repré sente, tant que la partie réelle de z est positive, l'intégrale
ro uadu fe" He rt 1 4 sin? (4 | | id a + EAN ne TU) GR Le 4 — 2 cos (217)
qui s'exprime aussi par
Bo te ++ ve 1 D ve) ve + 1],
y (2) étant la dérivée de log r'(2).
Une autre expression de cette fraction est celle-ci
a (ta 2e
sh()
e—#“du,
eu — pv
On trouvera la démonstration de ces formules dans le __— Journal of Mathematics, vol. XXIV, p. 370; 1890.
Pour = }, on retrouvera facilement la’ fraction continue qui nous a servi au n°. 68.
où sh u —
Considérons en second lieu la série
Po! (1) + à (4) + + @) + 2 te
elle donne la fraction continue
EP as
où Sr A | mnt +24) (n +122) DR nl
Les valeurs des a°,, a2n+1 sont un peu compliquées, mais on voit
encore facilement que les séries Zdan, ZAon+i1
sont divergentes l’une et l’autre.
Tant que la partie réelle de z est positive, les réduites tendent vers
D — 23 du [ 2 Lu
Cette limite s'exprime aussi par
3v(a+i)—-tv(+1—)2)
| sin (21x) cru Le ?7% 9 co8 (217)
et par l'intégrale
sh(1—3)u 0e sf NTSC Fe du.
87. On obtient des formules analogues si l’on considère une nouvelle
suite de polynomes, définis par la relation À à à Fri m0Tubsr: te Deere 0.
La série
40 & y un (2) +A0 4.
donne la fraction continue
où ban+1 =(n +À)(n + 1—21).
h =], ban = nt, La fraction continue est convergente, et, puisque ban+1 = 7 (n + 1)+4(1 — À),
on voit que (— 1)" y:, (4) est un polynome du degré n à coefficients en tiers et positifs en 4(1 — 4). Ainsi, ce polynome est constamment positif
et croissant de À =0 à 1— À}.
La limite de la fraction continue s'exprime ainsi
| © Zzdu RES AE | 4sin(iz | ,
ou encore pape auf (tt (RES 44-45) Nous avons posé ici ch (u) = cos (iu) — Fe.
La série TA CRUE enfin donne la fraction continue 2 + a — d :
MS ETES où 4 —=À1— À, ES)
anti + 4 (2n— 1.
La limite de la fraction continue s'exprime par
sd | ET — et"
—fpotisf 2 + çert Len up — ei
ou encore par
. SET e enmau—le (Et) + (ES)
PA M Vi à
on a 1 d X2n-1() = On di [tan (4)]; par conséquent (— 1)" 72,1 (1) est positif dans l’intervalle (0, 4), négatif dans l'intervalle (4, 1).
88. On connaît le rôle que les polynomes de Bernoulli jouent dans la théorie de la formule sommatoire d’Euler et de Maclaurin. Les polynomes 4h (4) jouent un rôle analogue dans la formule de Boole (Treatise on differential equations, Chap. IV, p. 18; 1859):
Pen) = ED B4 Cp +) + PC) à 2(2:—1)B , EL pp C4 0) + IIS D A an.
+ LD (ah On Than + Ru, Rn = . J Aon(u)fEr TD (xL hu) du 1.2.8...(2n) À (— 1)" h2n+1
Ba 198...@nEa "Br ft D(aHER), 0 LE 1.
