Nous avons vu (n° 68—70) que, lorsque la série

bd, + bo + ba +...

est convergente, la fonction F (2) est égale au quotient de deux fonctions entières Mimi k :

Nous nous proposons actuellement de trouver tous les cas dans lesquels F (2) est une fonction de { qui est méromorphe dans tout le plan. Puisque

il est clair que, pour cela, il faut et il suffit que la distribution de masse repré-

sentée par ® (u) se réduise à une concentration de masses (mi, Éi) ({ us 1, 8,8, ...)

en des points 4>8>E>E>...>limEn=0,

se rapprochant indéfiniment de l’origine, à laquelle peut s'ajouter encore une masse finie C placée à l'origine. Les m; sont seulement assujettis à la condition

co 2" doit être convergente.

Nous avons remarqué (n°. 48) que, lorsqu'un intervalle (a, b) ne contient point de masse dans la distribution représentée par ® (u), l’équation

ne peut jamais avoir deux racines dans cet intervalle: le nombre des racines dans

cet intervalle ne peut être que 0 ou 1. Il s’ensuit que, dans le cas actuel, le nombre des racines plus grandes qu’un nombre quelconque positif / reste toujours fini et

que la série

ne peut pas surpasser le nombre fini des nombres

qui surpassent |.

2. Avant d'aller plus loin, faisons quelques remarques sur la manière dont se comportent les racines

de l’équation Qon(— 2) =0, et cela dans le cas général. Nous supposons ces racines rangées par ordre de grandeur décroissante: x, sera la plus grande racine, et x, x,, ... croissent avec n. Il peut arriver que x; croît au delà de toute limite, mais alors ,, X3, ..., Æx croissent aussi au delà de toute limite nécessairement. En effet, supposons d’abord

lim x, =, lim x = À,

À étant un nombre fini. Il est clair d’abord que la masse M, correspondant à la racine x, tendra vers zéro, car

D'autre part, 2%, 43, ... restent toujours inférieurs à À: on aurait donc Pn (4) = & — M; et : 1 lim pn (4) = & (1) = —-.

La fonction D{(u) serait donc constante dans tout l'intervalle (1, œ), mais alors aucune racine de Qu (— 2) = 0 ne peut être plus grande que 1. Cette contradiction montre qu’il n’est pas possible que x, seule croisse au delà de toute limite. Et, de la même façon, on verra qu'il est impossible qu’un nombre fini de racines croisse au delà de toute limite, en sorte qu’on aurait Or ne "Im -+ lim LTk+1—= À.

Nous pouvons donc dire que le nombre des racines qui croissent au delà de toute limite ne peut être que O ou ce.

Supposons maintenant

lim x, = 1, À étant un nombre fini. Il peut arriver que x, soit la seule racine qui tende vers 1, en sorte que lim x, = d' < 1.

Mais nous allons montrer que, lorsque lim % = À, :

alors nécessairement %, &,, æ,..., tendent aussi vers À. Autrement, le nombre

des racines qui tendent vers À ne peut être que 1 ou ©. Supposons en effet

lim. =limx. =...—limx—=1, limxzy41 = 4 <1 On peut prendre d’abord n assez grand pour que les 4 plus grandes racines de Qon(— 2) = 0

soient toutes comprises entre 2’ et 1 Ensuite on pourra prendre #/ assez grand pour que les X plus grandes racines de

Qen+an (— 2) = 0

soient comprises entre la plus grande racine de

Qon(—2)=0, et 2 Mais il est clair qu’alors les 4 plus grandes racines de Qon(— 2) = 0

seraient toutes comprises dans l'intervalle de deux racines consécutives de Qn+on (— 2) = 0.

Or nous savons que cela est impossible, à moins qu’on n'ait 4 — 1. Si x, est la seule racine qui tend vers À, on aura

lmæs=i <à,

et l’on verra de la même façon que le nombre des racines qui tendent vers 1’ ne peut être que 1 ou œ&. Dans le premier cas, on aura

lima.=4"<2,

et l’on voit encore que le nombre des racines qui tendent vers 2’ ne peut être que 1 ou w , et ainsi de suite.

3. Revenons maintenant au cas du n°. 1, c’est-à-dire supposons que la fonction ® (u) affecte la forme particulière que nous avons indiquée. Nous allons montrer qu’on a alors nécessairement

lim bon 1 = lim bon — 0.

Soit, en effet, s un nombre positif aussi petit qu’on voudra. Parmi les nombres

hr ar Cr

il y en a seulement un nombre fini 4 qui soient plus grands que €. Parmi les racines de Qon (— 2) —=0, Lis Lo «.., Lx Seules peuvent surpasser &, mais æ%4+1 est certainement inférieur à £k+1<e. Ensuite ces racines x,,%,, …, æx en nombre fini tendent certainement pour nñ — vers des limites finies. Désignons maintenant par 4, 4, ...,æ! Li les racines de Qon+2(—2)=0,

on aura

DHL +... + tnpi = bi + be +... bons,

D to+... Lt =b+b+...Lbon:,

donc

Dtr—a)+ (aie) + mit = bon + bonsa.

Or, si l’on se rappelle que les racines x{ sont séparées par les racines tk, ilest clair que

n ) (tra) + th: < €, k+1 car

DL @r—a)+ Das) +ain=rin<e, k+1 k+1 et x; —%r+1 est positif. D'autre part, la somme k >Ë (x, — x)

peut être rendue aussi petite qu’on voudra, par exemple inférieure à &, en prenant n suffisamment grand; il vient donc

ban + ban+1 « 2e, et les quantités b, tendent vers zéro. l Ainsi, pour que la fonction F (2) soit méromorphe en { — . il faut certainement que b, tende vers zéro.

4. Nous allons montrer maintenant que cette condition est aussi suffisante et

que, toutes les fois qu’on a lim ban —1 = lim ben = 0,

F (2) est bien méromorphe en z—1.

Pour cela, nous allons faire voir d’abord que ces conditions entraînent cette conséquence :

Le nombre des racines de

Qon (— 2) = Ô ,

qui surpassent un nombre positif quelconque !, ne croît pas au delà de toute limite, mais reste invariable dès que n surpasse une certaine limite.

Considérons la suite des fonctions

(a) Qo(), Q(2), Q(2), ..., Qon(z), ..., il s’agit de faire voir que le nombre des racines d’une équation

qui sont comprises entre — ! et — ©, finit par être constant. Or, ce nombre est égal au nombre des variations perëues, en posant, dans la

suite,

Q (2), Qo (2), .…..) Qon (2), d’abord z — — œ, ensuite z— — !. Mais, pour 2 — — , on n’a que des variations; tout revient donc à montrer que, pour z2——1/, la suite (a) n’a qu’un

nombre fini de permanences, c’est-à-dire qu’on ne rencontre que des variations dès que n surpasse une certaine limite.

Pour cela, revenons à la relation entre trois fonctions consécutives; on peut l'écrire bon—1 Qon(2) = (2 + ban-2 + ban 1) Qan—0 (2) — ban Qon—4 (2).

Posons

1 — __Qen-2(—Ù u Qon(— 1) { il viendra 1 PR tn 2LITEER An bon—1

D’après l'hypothèse, on a lim ban—2 = lim bo2n 1 =0; donc, dès que n surpasse un certain nombre », on aura certainement l—2bon—

parce que le nombre positif ! n’est pas nul. Nous supposerons maintenant n >> ».

On voit alors que si 4, 1 < 1 certainement À, sera positif et compris entre 0 et 1, c’est-à-dire qu’on aura aussi 1, < 1, et, par suite, tous les nombres

ln, Anti, ln+2,

seront positifs, plus petits que l’unité.

Mais supposons la valeur de }, , quelconque et calculons la suite des quantités

PT dns Anti, Ân+2, ae

Nous distinguons divers cas qui épuisent tous les cas possibles.

L'un des nombres 14 est infini, y — cc, alors ÀÂm+1— 0 < 1, et, par eonséquent tous les nombres

Âm+2;, : Âm+3; Âm+4,

sont positifs, plus petits que l’unité.

Si aucun des nombres 14 n’est infini, ils seront tous finis, et ils seront:

Ou bien tous > 1 ; alors il est évident qu’ils sont aussi tous positifs.

Ou bien on en trouvera un 4,» < 1, et alors nous avons vu que

Âm+1; Âm+2, Âm+3) sont tous positifs, plus petits que l’unité Ainsi, dans tous les cas, les nombres 1; sont constamment positifs dès que k

surpasse une certaine limite. Il est évident, d’après ce qui précède, que nous avons établi ainsi la proposition que le nombre des racines de

Qon (— 2) 0.

qui surpassent un nombre positif quelconque /, ne croît pas au delà de toute limite, mais reste invariable dès que n surpasse une certaine limite.

5. Il est facile maintenant d'achever la démonstration. La racine x, tendra vers une limite finie £,, et c’est la seule racine qui tend vers cette limite, car le nombre des racines qui tendent vers £ est 1 ou œ, mais il ne peut être œ, parce que nous savons que le nombre des racines qui surpassent un nombre / est fini. Ensuite x, tendra vers une limite &, &,, et ce sera la seule racine qui tend vers &,, et ainsi de suite. Généralement, on a

lim Lr = Êk et Ëx > Ëk+ie

La masse M, correspondante à x, tendra vers une limite m, 2 0 en diminuant toujours, mais il est facile de voir qu’on ne peut pas avoir m, = 0.

En effet, on voit facilement que, dans ce cas, la fonction ® (uw) serait constante à partir de u = &, < £,, mais alors aucune racine ne surpasserait &,, et la racine qui tend vers &, n’existerait pas. De même, la masse M, correspondante à x, tendra vers

une limite », qui n’est pas nulle. En effet, nous savons que M, + M, diminue toujours; cette somme tend donc vers une limite, et il en est donc de même de M. On ne peut pas avoir m2 — 0, car, alors, il est aisé de voir que la fonction d (u) serait constante dans tout l’intervalle (£,, £,), et cet intervalle ne pourrait pas renfermer les deux racines x, et x: qui tendent respectivement vers £, et &, et ainsi de suite,

Il est clair que y, (u) tend toujours vers une limite finie pour n = et cette limite est dès lors — ® (y). Et cette fonction ® (u) affecte bien la forme particu-

lière indiquée plus haut (n° 1), en sorte que F F) est une fonction méromorphe de #,

Ainsi, pour que F . soit une fonction méromorphe dans tout le plan, il faut et il suffit qu’on ait lim Dan—1 lim Don 0

(Article rédigé d'après un manuscrit inédit.)

Sur la loi de réciprocité de Legendre.

1. Supposons que p et q sont des nombres positifs, impairs et premiers entre eux. D’après le lemme de Gauss on sait que

q 2)—(—1]) pe) TD sue . . . SENEE 1 où 4 désigne le nombre des restes, compris entre les limites —1——

= 1 ; : et? 9» quisont négatifs, de la série

| g, 29, 3; sd

D'après cela 4 indique aussi combien parmi les quantités

: : À ; 1 il y en a dont la partie fractionnaire surpasse =:

Or, en introduisant le symbole E(a) pour assigner le plus grand entier qui ne surpasse pas a, On aura

’ : . ‘ 1 quand la partie fractionnaire de a est supérieure à =. On en conclut

Det) (le) (y=e,s, 125)

En considérant de la même manière

on aura

PE pd) nf fnren tt

Posons maintenant

alors on a k=B—A k'= B'— A et 1l s'agit de démontrer la congruence

177 (mod 2)

pour obtenir la loi de réciprocité

Pour y arriver nous démontrerons d’abord B + B'=0 (mod 2)

et ensuite

D id A+A = :

Pour établir le premier point on peut démontrer que B est un nombre pair. C’est ce que fait Gauss. Voici la démonstration de M. Kronecker d'après les leçons de Dirichlet (Dedekind, 2ème Édition, p. 97). Soit

p p0S +1) rem, fésre,…2=1)

à L , 1 il est évident que r, sera compris entre + £, car E (5 + à) est le

nombre entier qui diffère le moins de d Les nombres 7, sont tous dif-

férents et la somme de deux d’entre eux ne peut être nulle Donc dans leur ensemble ces nombres r, sont

1,2,8,...,2—— quelques uns étant affectés du signe +, les autres du signe —. Or, ona ya = à E(# - 2] =Y—Ty (mod 2)

B= Ÿ (y—r,)=0 (mod 2).

2. Mais on peut se dispenser de démontrer que B est pair, car on a B—B. Cette remarque avait échappé aux premiers chercheurs. En effet E(a) exprime combien il y a de termes positifs dans la série

à condition de pousser assez loin cette série. D'où l’on conclut que Bin-

; FE . —1 g—1i dique combien il y a de nombres positifs dans le groupe des — — nombres Fe 2=1,2,8,..., nos ou 2yqg—(2%2—1)p

Y = À, 2, b, .") EE E a+1 n remplaçant x par ; —2x on voit que ces nombres résultent aussi de l'expression m=1,2,8,...,1 2px +2qy—pa 1 y=1,2,8,...,2—

La symétrie de cette expression met en évidence la relation B = B'. Voici comment on peut interpréter géométriquement ce résultat. Sur

angle OA BC. Considérons en même temps le réseau des points x, y dont les coordonnées sont

deux axes OX et OY prenons 0A=, 0OB— *, etcomplétonslerect-

et qui sont à l’intérieur du rectangle. L’équation de la diagonale A B étant 2px + 2qy —pq—0, il est clair que B— B' est le nombre des points du réseau qui se trouvent à l’intérieur du triangle ABC, ce que nous indiquerons ainsi B—B'—(A BC).

Cette démonstration de l'égalité B = B' est indépendante de l’hypothèse que p et g sont premiers entre eux.

Traçons la seconde diagonale OC, qui rencontre en D la première. On reconnait de la même façon

A (080), :L Ua d’où résulte immédiatement la relation

a do

un, RARE 2

et ainsi la loi de réciprocité.