Le nombre B étant pairon a

=D gs (mod 2.

Supposons que parmi les nombres E (2) il y en ait { qui sont impairs, 4 et | seront de même parité. Mais il y a plus, car on a 4 =, ainsi:

Si l’on divise les nombres

g; 2q, 34; T par p, on trouvera autant de quotients impairs que de restes qui surpassent —

Pour le faire voir, je remarque d’abord que E(a) +E(q—a)—=9—1 par suite les quotients de mg et (p — m)q par p sont toujours de même parité, car leur somme est 9 — 1. Il en résulte que si je considère les deux groupes de nombres (a) .:. . .., , . 801 60: 00, ,..., eng M : : . . . . . AW, 84. DNA

et si je divise tous ces nombres par p, le groupe (a) donnera autant (4) de quotients impairs que le groupe (#). Le groupe

4, 29, 3G, ..., (PD—D9Q donnera par conséquent 24 quotients impairs, et par suite chacun des groupes

D dre, 2g5 8q, ..., 0 1 3 5 à . . . . PEL, PER BEN to 25 1ÿg 2 2 2 en donnera k.

Donc les groupes (7) et (6) ou yg et 2yq (y=1,2,8,...,2—)

donnent le même nombre de quotients impairs. Maïs il est clair qu'en divisant 2yq par p le quotient sera pair ou impair selon que le reste

obtenu en divisant yq par p sera inférieur ou supérieur à &, d'où la

proposition énoncée.

4, Posons (—(AOD), (I) —(BOD) (ID) = (BCD), (IV) = (ACD) en sorte qu'on a A (ID) + (D, A'=(1)+ (AV), B— B'— (I) + (IV), k—=(IV)— (D, #k'= (I) — (1.

Il existe entre ces nombres la relation intéressante (ID) = (IV).

Pour la démontrer je cherche une expression du nombre (IV) qui indique combien il y a des points du réseau satisfaisant aux conditions 2px+2qy—pg>0, px —qy > 0.

Pour une valeur donnée de y on doit avoir

qg(p—2y ay

Tant que y < . on n'a qu'à faire attention à la première limitation, et pour y > L c'est la seconde limitation qu’il faut seulement envisager.

Pour y < Ê on aura donc

Sa q(p — 2y) 2yq 1 rt)

valeurs de x, et pour y > £ ce nombre sera

Q—1 5(2Y\ nfD—2H9 4 1\ 2 s(f)=E( Fm * :) On a donc

AV = Ÿ s(fu+ + prime, à à

Or, dans la première somme 2y parcourt les nombres pairs infé-

rieurs à £, dans la seconde p —2y parcourt les nombres impairs in-

férieurs à £ ; On peut donc écrire simplement

> 1 D | m=YE(i+s) (y=1,2,8,...,2—) Ë

et l’on trouvera de la même façon S'e(#£) V2 É 5

À cause de

on en conclut

11 Qioiyqu sl 28% (D) +(V=UE (22) — À — (II) + (Il) (II) = (IV).

Il se confirme ici de nouveau que B— (Ill) + (IV) est pair. Ensuite on obtient cette nouvelle expression de k

EU Jr] =>, Et Ve p c.-à-d. en divisant les nombres yq par 2p, il arrive k fois que le reste obtenu surpasse p, ou bien, ce qui est la même chose, en divisant

les nombres ygq par p il arrive k fois que le quotient E(n) obtenu

est impair. On retrouve ainsi la proposition de tout à l'heure. 5. On obtient une expression de 4 qui conduit rapidement à la loi de réciprocité par le raisonnement suivant Pour que la partie fraction-

, é ‘ Le u ; ; naire de ee soit supérieure à à il faut et il suffit qu'on ait

yq (x—34)p x p x — Lx ou “——*— ee ES . ee 1 : <y< ’ Pour une valeur donnée de x on obtient ainsi

valeurs de y, d’où l’on conclut E 2p\ L{(&—#p D HE] 1) EI! q } et l'on s'assure facilement qu’il faut prendre zx—1,2,3,..., —

En écrivant dans la seconde somme __ — x au lieu de x on trouve

= nf -n(8 4)

=D E(?) +E(2 -%#)] (mod 2).

Mais il est clair que

donc

ë me ; : x est égal à p Ouà Es — 1 selon que la partie fractionnaire de

est inférieure ou supérieure à +, donc

On voit en même temps que la somme

> E fées IE se 5? E (a— de)

qui se présente ici est le nombre (AO B) = (1) + (ID.

(Article rédigé d’après un manuscrit inédit.)

Étude sur l'intégrale Î ‘ak da.