Soit CD (al — 'ak-ietda Î
où nous supposons 0Sa<+o, O<k<I.
En développant l’exponentielle on obtient ® FOR HE tre rpet resp Cette formule permet de calculer F(a) avec une approximation in. définie pour toute valeur de a. Mais dès que a est un peu grand ce calcul devient impraticable à cause des longueurs du calcul, et dans ce
cas on devra préférer souvent d’autres formules, même si elles ne permettraient pas d'obtenir F (a) avec une approximation indéfinie.
On obtient un premier développement de ce genre par l'intégration par parties qui donne
@) F(a)=ak-1ea 14 + RER +. OCRE DOI) LR, =T+T+....LTr+Ra, Cher Ra (1H (2— 4... (n—#)f at-"-teraax.
Cn étant une constante indépendante de a.
En effet les deux membres de l’équation (3) ont même dérivée par rapport à a, par conséquent ils seront égaux si l’on peut déterminer Cn de manière que l’équation soit exacte pour une valeur particulière de a. Or si l’on prend «a positif mais assez petit pour que
Fo)< He bi. bts .
il est clair que l’équation (3) détermine une valeur unique de c, qui
sera supérieure à cette valeur particulière de a. On a évidemment
a a Î ak—n—lerdx—=ak-"—-1ea Lin +1 — | ak—n—2e2z dx, Cu Cn +1 d’où l’on voit, en posant a —c,+1, que les constantes positives Ci» Co y Ca» sn Cn: ..
vont toujours en augmentant. On peut ajouter que c, croît au delà de toute limite. En effet dans le cas contraire on aurait c, < b pour toute valeur de n, b étant un nombre fini. Il en résulterait d’après (3)
(1 — X) (2 —K D A FO >v-1e|1+ 1 a PET LR Den — 1—X)
quel que soit n, ce qui est évidemment impossible.
2. Ilest clair que si l’on connaissait la série des constantes Ci) Co; C3 CRURCS Cny..
rien ne s’opposerait à un usage légitime du développement (3). Supposons que la valeur de a tombe entre c,1 et c,, on aura
F@O>TH+ET+...+Tui, Fa LT HET +... LT Mais il reste ici la difficulté qu'il faudrait connaître les constantes C1, CC... au moins d’une manière assez approchée pour déterminer l'entier n.
Nous reviendrons tout-à-l’heure sur cette question, mais remarquons d’abord que lorsque a est grand les termes de la série
Ti + To + Ts +...
vont en diminuant d’abord pour croître ensuite indéfiniment.
L'indice du plus petit terme T, se trouve égal à 1) PNR NE LUS ne ii. à 0SO< 1, 9 étant déterminé par la condition que n doit être entier. Dans le cas 0 —0, il y a deux termes consécutifs égaux, plus petits que tous les autres, n— “+ k est alors l'indice du premier de ces deux termes. En supposant a grand, on obtient facilement une valeur approchée de ce plus petit terme T,, en effet
RE À AL 2 Em cn D
ane. ' PARA T(1—H) 90+6 Or on a,e et s’ désignant des quantités qui tendent vers zéro Avec — Eu a+ 0, ce O1 27. , l'(a + 0) = (a + 9) e Dre donc
1 g+0—3 EN 27 :
he) ea,
ou plus simplement a 1 27
3. Examinons maintenant la détermination des constantes c,,c,, cs, … Il est évident d’abord que c, est la seule racine positive de l'équation transcendante L—k)(2—k)...(n—1—k)
gn—1
(7) FO——1et 14. PT
mais le calcul de c, de cette manière est toujours laborieux et devient tout-à-fait impraticable dès que n est un peu grand, ce qui est justement le cas le plus important. En effet pour résoudre l'équation (7) il faudra calculer F(f par la formule (2) et il est clair que, si l’on ne trouve pas un autre moyen pour calculer c,, il vaudrait mieux renoncer à l'emploi du développement (3) et s’en tenir à la formule (2).
On peut mettre l'équation (7) sous une autre forme qui permet de voir plus clairement de quelle manière c, dépend de n et de k. Développons les deux membres de (3) suivant les puissances de a, comme
il n’y a pas de terme sans a dans le premier membre il doit en être de même dans le second membre. On en conclut d'abord que c, est une racine de l’équation transcendante
tn th—n+1 thk—n+2 0 mr PURES TRESNAT PERS TS a
et ensuite qu’on a identiquement
Porte 1=E) DE. (IE +
(2) | L(1— HR) (2— 4%)... ("0 — À) y (a).
Il est clair que l’équation (8) n admet qu’une seule racine positive — €, car les termes ne présentent qu'une seule variation de signe.
L’équation (8) ne renfermant que le seul paramètre k— n, il est naturel de considérer c, comme fonction de ce paramètre, mais nous
préférons poser
OR sb MNT Dern PP et in)
en sorte que {— y(m) est racine de
ti—m t2—m [im im
(12) PO Tin trs. 6m li1.5.5. Cm) moe
Le nombre n pouvant avoir les valeurs 1,2,8,. . et k étant compris entre 0 et 1, nous n'avons qu’à considérer les valeurs de m qui sont supérieures à 1 sans être entières. On constate d’abord que la fonction y(m) est constamment décroissante, en effet on a
ù ù y = 0, + dt+-E dm=0,
ù y — fm et
ù y ti—m t2—m {3—m
Dm OT pt Em T 1.8.8 mt" . var ti
et à cause de y—0, on voitque ÿ,- et, sont positifs tous les dt __dy(m)
deux, donc Ses Dre Pa négatif.
Mais d'autre part nous avons vu que les constantes
Cns Cn+1s Cn+HIs c. à. d.
am), x(m +1), z(m+42),
vont toujours en augmentant. L’explication de cette contradiction apparente se trouve dans ce fait que la fonction y(m) est discontinue dans le voisinage des valeurs entières de la variable. Une discussion facile montre qu’en désignant par & une quantité positive et infiniment petite,ona
xfn+es)=+o, 11,8,8,...
xfn—:)=0, nest,, ii:
La nature si compliquée de la fonction y(m)—c, qui vient de se montrer ici, ne semble guère permettre d'obtenir d'une manière simple et commode une valeur suffisamment approchée de c, comme l’exigerait l'emploi du développement (3). Il faut en conclure que ce développement n’a aucune valeur au point de vue du calcul numérique.
NOUVELLE EXPRESSION DE LA FONCTION F'(a).
4. Nous allons considérer maintenant une fonction G (a) définie de la manière suivante
1 © m—kea(l—x) G (a) — TA—%) V. D. / Tran dx.
0<a< oo, Pt Le ©
L'intégrale définie
2 a eall — x) l'est
n’a pas de sens à cause de la discontinuité pour æ— 1, mais dans la définition de G (a) figure la valeur principale de cette intégrale d’après la définition de Cauchy
v.p.f =im | perd
D'après cette définition, il vient
dx.
G(a+%)—G(a) 1 © kel) gh—2 — 1 h ren) Éd 3
Dans le second membre on a pu omettre ici l’indication v. p. car la fonction sous la signe Î reste finie pour x — 1.
Mais on a
R(Ai— x) = a)eit-s, OCE<h
G(a+%)—G(a) ] © r—ko@+6—2) h = rt 5 / x—'e dx.
Ici £ est une fonction inconnue de x mais qui reste toujours comprise entre O0 et k.
Par des raisonnements qui sont trop faciles pour qu’il soit nécessaire de les développer, on conclut de là
(Ste
7e A 1 : —k ,a(1— x) = (a) = GE) Eat © dx
h tendant vers zéro, soit par des valeurs positives, soit par des valeurs négatives. Mais cela suppose essentiellement 4 > 0, et comme on a
il x kel qx=T(1—k)a-1es on arrive à cette conclusion:
la fonction G(a) est continue tant que a est positif et elle admet pour ces valeurs de a une dérivée G'(a)—a*-1es,
5. Mais il faut encore une recherche particulière pour savoir si la fonction G(a) est continue dans le voisinage de a — 0. Pour cela, remarquons que
où & est une quantité positive que nous ferons tendre vers 0.
Décomposons l'intégrale en deux parties co u ao Pr 0 0 l
où Z—e—1 croîtra au delà de toute limite.
Ayant
ei —2
nn ge O<e<e
il est clair que
CT Re me à 1—k 1—k
ul etl—® 1] l | mh du ee" | Tdi | 1— x
Mon lim / g + — dr = 0.
Quant à la seconde intégrale il est clair qu’on aura à partir du moment où / est devenu supérieur à l'unité
” e(l Par u<f cr, ss <f Es TS = donc al Cl L'ir = 0.
1—x On conclut
lim G (:) = G (0).
La fonction G (a) est donc continue même pour a — 0, et nous pouvons écrire
G(a)=G(0)+ f a*-1eraa.
La valeur de G . est facile à trouver
“a Feu G (0) = Fo "ef + in — (4) cos k x
(v. Briot et Bouquet, Fonctions elliptiques, pag. 145) et comme résultat
de cette analyse nous pouvons donc écrire cette nouvelle expression de la fonction F (a)
US F(a)= r () cos ka + AE 3 ——— à.
AUTRE DÉVELOPPEMENT DE F (a).
6. La nouvelle expression de F (a) que nous venons d'obtenir donne facilement un nouveau développement en série. En effet à l’aide de l'identité
LS Das + 1—x 1—2x
on obtient aussitôt le résultat suivant
(14) F(a)=r(coska ax —tenf1 + TE 4. Ci
oo an —k ea(i— 2x)
(15) re SEA = rar Vs p. / Re dx.
On voit, ce développement se distingue de notre premier développement (3) seulement par le terme l'(k) cos kz et un changement cor-
respondant du terme complémentaire. Il est clair que
HD 00. + D, Er IR COKa =,
d’où il suit que dSn dR» ue D ÊPE k—n—1,4a da cd, —=(1—4)(2—4k)...(n—kja ”
S, est donc une fonction croissante de a, or il est clair que pour a positif, très petit S, est négatif. Par conséquent S, s'annule pour une seule valeur positive de a que nous désignerons par a, et alors
0 Su=(1— A) (2— 4)... (n—#[ 2t-"-1er da.
Les constantes Gin den ldht à 5 5 in 501
que nous venons d'introduire, vont continuellement en augmentant et
finissent par dépasser toute limite fixe, c’est ce qu'on voit exactement de la même manière que dans le cas des constantes CROP ANOES Supposons que a tombe entre a, ; et a,, on aura F(a)>T(k)coska+T HT +...+LT,:, F(a) < T(k)coskx ET, + TD +... HTs Mais tandis qu’il n’est pas possible d’avoir aisément une valeur approchée de c,, nous verrons dans la suite qu’on obtient facilement une valeur très approchée de a, à l’aide du développement
ee de 4405 M \pi08m m—=n<+<1i—Kk) dont nous aurons à nous occuper dans la suite.
La comparaison des formules (9) et (16) donne encore cette expression de S,
Su =(1— %)(2— 4)... .(n — k) y (a) — T'(k) cos k x. En remarquant que L'(k) (4 — 1)(4—2)...(&—n") T(k—n) COS kan —(— 1)" cos (4 — n)x il vient, en introduisant le nombre m—n +1—%k (8). Su —(1—4)(2— 4%)... (n — k)[y (a) + (1 — m) cos m x].
