AURE

7. On peut ici déjà se rendre compte de l'avantage qu’il y a à substituer les constantes a, aux constantes c,.

En effet les formules (15), (:8) montrent que a, s'obtient comme racine d’une équation transcendante qu’on peut écrire

19 1 o gm—1 etUü—:x) d 0 (197 HAE nn p. | Rae Fi tandis que c, — y (m) était racine de ti—m t2—m Li—m

y (t) = md

Rue eos Paul

Comme on le voit on peut considérer aussi a, comme fonction de m simplement et nous écrirons a, — 4 (M).

Les discontinuités de 7 (m) avaient leur origine dans ce fait que w (1)

est une fonction discontinue de "”. Ici au contraire on constate directement que pt +T(1— m)cos mr

considérée comme fonction de m, ne présente aucune discontinuité, c'est même une fonction holomorphe dans tout le plan, les discontinuités polaires de w(t) et de T'(1—m)cos mx se détruisant.

Pour mettre ce fait dans son vrai jour, posons pour simplifier {= 1, et écrivons a au lieu de 1—m, la formule (19) donnera

ne 1 1 1 (20) Féjosar= + nt MT, 210 La Pop gabar cbr Nes | GG=— pe f ds

Il y a lieu de rapprocher ce résultat du suivant qui est bien connu et qu'on doit à M. Prym

1 1 1 1 ee, No D Lau oies are 00

Q (a) =fa-te-tax

La formule (21) ne définit la fonction G (a) que tant que la partie

k a à réelle de a est inférieure à 1, mais à l’aide de l'identité DE an 1+ 1

on trouve aussitôt (229) . . . . . . G(a)=—e+(1—a)G(a—1).

Cette relation permet de calculer G (a) lorsqu'on connaît G (a — 1) et l’on peut continuer ainsi la fonction G (a) dans tout le plan, c’est une fonction qui est holomorphe dans tout le plan, comme la fonction Q (a) de M. Prym. Du reste ce résultat était évident à priori, par le théorème de M. Mittag-Leffler.