Notre point de départ sera la formule (15) où nous posons
n—k=m—l=u et a=u<+yr
en sorte que
eu+n 0 ph e—(u+n)e SÉT 7 Peur à b. | TE ren dd em+n “(ve ")# =ŒÆ ———— AR ru bd nv Sn TE tes se + fe Fe- dv 0 1+e
en désignant par & une quantité positive et infiniment petite.
D'après les résultats obtenus p. 14, n° XLIX on a immédiatement cette expression asymptotique
de ‘4 127 1 NE IS 1 \1 sel 417 “Ps +" —attiwrt ra 1 1 1
+2 24 + 241 + gas 1 + 6018) à a La |
On en conclut que la valeur de 7 qui donne $S, —0, est susceptible d'un développement
Bi 4 Pa 7 — écmour + He ..
MENT dont on détermine les coefficients en substituant dans l’expression précédente et en égalant à zéro les coefficients des diverses puissances
1 : ; ; de Le Nous avons posé a = u + 7, la racine a, de l'équation S, —0
est donc égale à
ann + Bo +0 + É +.
Bo —= 8.
Bi 05 LE 25515
ou, en remplaçant # par m—1
ami + ht ++
Or, m étant un nombre très grand on obtient le développement cherché
An = M—(1— Bo) + À +AER +...
ou
RMS ou mn C5 ms T°
(Article rédigé d'après un manuscrit inédit.)
Sur certaines inégalités dues à M. P. Tchebychef.
1. Dans le Journal de Liouville (2 Série, t. 19, 1847) dans un mémoire ,,Sur les valeurs limites des intégrales” M. Tchebychef a énoncé sans démonstration la proposition suivante
..p (2 Si ee est une des fractions convergentes de (ee
trouve en moe cette expression en fraction continue
442, que l’on
Dhs TE SN
et que DE er EU AI + Ji 1, de . 2e soient les racines de l'équation y(2) = 0, rangées suivant leur grandeur: toutes les fois que f(x) reste positive entre les limites z2—a, 2—b, la valeur de l'intégrale
['r@as surpasse la somme
Pix) + Peru à Pen) | P(2n—1)
W'(z14+1) w'(zi+2) W'(2n—2) ° W'(2n—1) et reste au-dessous de celle-ci
par) , pari) P(an—1) , P(En) ” y' (21) 1 y'(z14+1) RE A W'(an 1) LE y' (21)
M. Markoff a publié le premier une démonstration de ce théorème dans
le mémoire ,,Sur certaines inégalités de M. Tchebychef”” (Mathematische Anaalen, t. 24. 1884).
Ayant retrouvé de mon côté et indépendamment ce théorème, j'en ai donné aussi la démonstration dans un mémoire ,, Quelques recherches sur la théorie des quadratures dites mécaniques.” (Annales de l’École normale, 3° Série, t. 1. 1884). Cette démonstration ne diffère pas de celle donnée par M. Markoff, je me propose maintenant d’en présenter une autre.
2. Le principal fondement de la nouvelle démonstration est le lemme suivant, qui certainement n'est pas nouveau, mais dont les développements suivants montreront mieux toute l’utilité.
Lemme. ,,Si la fonction F(x) satisfait aux m relations
[#*F(@d2=0, k=0, 1,2,...,m—1 alors la fonction F(x), si elle n’est pas constamment égale à zéro dans l'intervalle (a, b), change de signe au moins m fois dans cet intervalle.”
Il est clair que F(x) change au moins une fois de signe dans l’intervalle (a, b). Supposons que le nombre total ! de ces changements de signe soit plus petit que m, donc
1=I=m—1 il faut montrer que cela n’est pas possible. En effet soient
Li, Lo, ..., X] les valeurs de x pour lesquelles F (x) change de signe, et posons
Il est clair alors que f(x) F (x)
conserve constamment le même signe dans l'intervalle (a, b). Or f(x) étant un polynôme du degré m— 1 au plus, on devrait avoir d’après les conditions imposées à la fonction F(x)
[ rF(@dr=0
ce qui est impossible. La supposition / < m est donc inadmissible et le lemme est démontré,
Ce lemme se trouve déjà en germe dans une démonstration donnée par Legendre relative aux racines de l’équation X,, — 0. On sait que
A | a X, dx —=0, k=0,1,2,...,n—1
donc X, doit changer de signe au moins n fois dans l'intervalle
(— 1, +1). Mais X, étant un polynôme du degré n, on en conclut
que les racines de X,—0 sont réelles, inégales et comprises entre
— let +1.
Cette démonstration ne diffère pas au fond de celle de Legendre, mais en la présentant de cette manière, on met plus en évidence le véritable nerf du raisonnement !).
Mais ce lemme, nous allons le voir, conduit encore de la manière la plus simple aux inégalités de M. Tchebychef, ou plutôt aux suivantes
ee +. + C0 fre
” y'(x) y'(xx) p (x) (Tr 1) vu) TT y) <f” ti es
dont le théorème de M. Tchebychef est une conséquence directe.
3. Pour simplifier l’énoncé de ces inégalités (A) nous introduisons deux fonctions F(x), G(x) de la manière suivante. Soit d’abord
F(a= f r(e)dz ET pt
Ecrivons pour simplifier
1) Soit F (2) = co Xo + C1 X1 + Ca Xo + … —1<r<+i le développement d'une fonction quelconque suivant les polynômes X,, alors la différence F (2) — (co X9 + c1 X: LE + Cn—1Xn—1) change de signe au moins n fois dans l'intervalle (—1, + 1).
et définissons maintenant la fonction G (x) dans l'intervalle (a, b) de la façon suivante :
G (x) = 0 deze jusqu'à z=2, G (x) = A, dez=x, jusqu'à z=2,
G (x) = À, + A, dex=2 jusqu'à r—=2, Gt =A+A+...+An-1 de 2= 2%»: jusqu'à x —2%»,
G(&=A +A+...+An dexz=ztn jusqu'à z—=b.
Il est clair qu’au lieu de (A) on peut écrire plus simplement
(A)... . . Gare te) > F (xx) > G(xr — 0) =
e étant une quantité positive et suffisamment petite.
F (x) est une fonction croissante ou mieux non décroissante car c’est ainsi qu’on doit l'entendre toujours dans la suite. De même G(x) est une fonction croissante mais ses accroissements se font par des sauts brusques. Les valeurs extrêmes de F(x), G(x) sont les mêmes, en effet
b F(a)=0, F(G)=] f()dz=e si l’on pose b D = zk f(z)dz, = À G(a)=0, G(b)}=A;, +A:+...+A»—=ta car on a comme l’on sait
(2) . . Aimi+Aoaÿ+...+ Anth=ax pour k—0,1,2,...,2m—1.
