Considérons maintenant la fonction F (x) — G (x

et portons notre attention sur les changements de signe qu’elle peut avoir dans l'intervalle (a, b).

Un changement de signe peut se produire soit pour une valeur de x

pour laquelle G(x) est discontinue; soit à l’intérieur d’un des m + 1 intervalles

(a, Ti — €); ( +e, T3 — €),

(Xi + €, X3 — 6€), NT ee (Tm —1 + e, Lm— €),

Il est clair que dans le premier cas, qui peut se présenter m fois au plus, le signe de F(x)— G(x) se change de + en —, car G(x) augmente brusquement d’une quantité finie. (Nous supposons qu’on fait croître x de a à b).

Au contraire, dans le second cas G (x) reste constant, tandis que F(x) croît toujours. Le signe — se change donc en +, et dans chacun des m + 1 intervalles un tel changement de signe ne peut avoir lieu qu’une fois au plus. Mais on constate que dans le premier intervalle (a, Ti — €)

et dans le dernier (x, + e. b) F(x) — G (x) = 0.

Ces deux intervalles ne fournissent donc pas des changements de signe, et le second cas peut se présenter au plus m— 1 fois.

Le nombre total des changements de signe dans l'intervalle (a, b) est donc 2m—1 au plus, et il est toujours impair car vers la fin de l’intervalle (a, x, —:) F(x) — G (x) est positif, et au commencement de l'intervalle (x, ++, db) F(x) — G (x) est négatif

Pour que le nombre des variations de signe soit égal à 2m — 1 il est nécessaire d'après ce qui précède qu’il se produise un changement de signe pour chacune des valeurs x,,4,,...,æ%m, c’est dire qu’on ait

Aa Ci) Mon Os

et cette condition est aussi suffisante, car entre deux changements de signe de + en — il y a nécessairement un changement de signe de —

en +.

SUR CERTAINES INEGALITÉS. 591

5. Dans ce qui précède nous avons supposé implicitement que la fonction F(x) est continue, comme cela arrivera en général. Mais, comme cas limite, on pourrait discuter le cas que F(x) aussi comme G (x), présente des sauts brusques. On se convaincra facilement que les conclusions auxquelles nous sommes arrivés relatives au nombre des changements de signe de F(x) — G (x) restent encore vraies dans ce cas.