PES
Ensuite d’après la définition même de G (x)
b kR+1 ,k+1 Jar G (ax, —
A fatrod=
Tnt — Em +(A+A+...+An-1) l'ENS s b*+1 ei a +1
+++ An)
ou bien b k+1 h + pti gh+i pti gh+
ÉCLE E ES E mere
et définitivement en ayant égard aux formules (2)
ad Tl— ag:
b (4) “5: | #*G(@ax= k—0,1,2,...,2m— 2.
Les équations (3) et (4) montrent que
[2 0F@)— (dx 0. k=0,1,2,....19 —5 On en conclut que le nombre des changements de signe de F(x)—G(x) dans l'intervalle (a, b) est au moins égal à 2m — 1. Mais nous venons de voir que ce nombre est 2m — 1 ou plus; il est donc exactement égal à 2m — 1, et de là on conclut les inégalités (A') qui sont équivalentes aux inégalités (A).
7. Les quantités A; et la fonction G(x) dépendent encore du nombre entier m. Pour mettre en évidence cette dépendance nous écrirons maintenant A” et G”(x) au lieu de A; et G(x).
D’après cela la signification de
Amt+ i=1,2,...,m+I1 et de GT (x) est claire. Quant aux quantités qui doivent remplacer D, Lo cp Tan en changeant m en m + 1, nous les désignerons par A 2: Toit
On sait alors que (D, Do ASUS... le foi.
Au lieu des équations (4) nous aurons
b k+E EL [ atem(adr = %° si k—0,1,2,...2m —2, a
[ aa" (az = %° ace k—0,1,2,...,2m.
a On en conclut que GT (x) — G” (x) doit présenter au moins 2m — 1 changements de signe dans 1 intervalle (a, b) et ensuite, exactement de la même manière que tout à l’heure
Gr (tr +) > G"- 1 (xx) > G" (xx — 6)
ou bien ATH AS +...+HAr D APT HARTIL,,, 4 AR +1 . ATHTAS+H...+ AP 3 < APT HARTI LH... +ARtI Ce sont les inégalités que j'ai données sans démonstration dans les Annales de l’École normale (3° Série, t. 2 pag. 184). On remarquera sans peine que, dans ce raisonnement, il n’est pas nécessaire de s’appuyer sur les inégalités (5). Au contraire, le raisonnement fournit une nouvelle démonstration de ces inégalités.
8. Dans le mémoire ,Sur les valeurs limites des intégrales” M. Tchebychef a proposé une question intéressante relative à certains maxima et minima.
Plus tard il a exposé plus complètement les résultats qu’il a obtenus dans un mémoire publié en russe dans l’appendice au tome 51 des Annales de l'académie des sciences de St. Pétersbourg ( 1885). On doit une traduction française de ce mémoire à M" Kowalevski. (Acta mathematica t. 9. 1886).
De son côté M. Markoff s’est occupé de la même question en la généralisant encore, à la suite de son travail sur les inégalités de M. Tchebychef. Son mémoire ,Sur quelques applications des fractions continues algébriques” (1884) a été publié en russe.
Plus récemment M. Markoff a encore donné à sa solution plus de généralité dans les Acta mathematica t. 9 (1886). (Sur une question de maximum et de minimum proposée par M. Tchebychef.)
Pour compléter les renseignements bibliographiques sur cette question, nous devons citer encore :
le livre de M. C. Possé ,,Sur quelques applications des fractions continues”, St. Pétersbourg 1886 (en français), où l’auteur a reproduit, quant aux traits principaux, la solution donnée par M. Markoff dans son premier mémoire russe,
et enfin l',,Extrait d’une lettre adressée à M. Hermite par M. Markoff.” (Annales de l’École normale 3° Série t. 8. 1886).
