X LIT

G. Darboux, Sur la série de Laplace (Paris C.-R. Acad. Sci., 68, 1869, 324) (C). Note de l’auteur.

R X — x X — xŸ Soit f(X)= A+ A gs + ASS) + | Multipliez par y” (X), différentiez m fois par rapport à X, puis posez X — x. Il vient ainsi \ D” f(x) g" (x) = A, D" y miens RÉ: De ve

(1) . ]+mim—1)A, D=- 2 p m2 (2) +... .+ mm —1).. Pet,

Multipliez par mp” —1(X) p'(X), différentiez m — 1 fois par rapport à X, puis posez X = x, il vient D mp" (x) (nf) = A;mD" gp" lp" + A; m(m—1) D"? qpM—2q/ + + A, m(m — Om —2)D7 pm —8p +... + An 1m(m—1)...2.10 ou [DE mp" (x) p'(x) f(x) = À, D" g" + mA, D"—1 pm —1 [+ mim— DA, D"-2qm—2 +... Lm(m—1)...2Am 1D;p. En retranchant les deux équations (1) et (2) on obtient

US De Pi M Am = D? f(x) p" (x) — Dm" 1 (x) p' (x) f(x)