SUR LES SÉRIES QUI PROCÈDENT SUIVANT LES PUISSANCES D'UNE VARIABLE

Supposons que f’(1) existe et ait une valeur finie, peut-on en conclure que lim f'(&e=1 =f' (1)?

Nous ne le savons pas. Nous n’avons pas rencontré un exemple qui eût montré que cela n’est pas vrai.

En posant Sx = > Un; k on a COTE — à. & Sn x" id

Po = D n (80 — 8n+0 21.

C9) « ed L Dans le cas où la série > sn est convergente, on a

tir 88 Rent Lo,

comme M. Kronecker vient de le démontrer ).

Or on trouve

L IE po=t os +22+882 +.

et l’on en conclut, d’après une proposition de M. Frübenius ?),

f'@) — lim f” (&x =1 = 0.

Ainsi, lorsque la série Fa 8, est convergente, la fonction f(x) admet

une dérivée qui est continue dans l’intervalle 0£x< 1. Mais il reste douteux , si cela reste vrai, sous la seule condition que f”(1) existe.

1) Comptes rendus, t. CIII, p. 980.

2?) Journal de Borchardt, t. 89, p. 262.