En traitant l'intégrale Le e—*dv d’une manière ana

logue, nous posons Dr 0e v—1—=t, GET Ed uit et nous obtenons d’abord | t— à, x — ao a + 432 —..., di, do, ds, -.. ayant les mêmes valeurs que précédemment. En achevant le calcul comme tout à l’heure, il vient

(5) [TS . DT be bre freten — À,x+A,x —A,n+...] e, 1+e eV/4

A;,, A2, ... ayant la même signification que dans la formule (4). La

quantité 4 peut être choisie de manière que dans le second membre la

limite supérieure de l'intégration est de nouveau L.

En réunissant les deux intégrales (4) et (5), on voit se détruire les parties qui deviennent infinies pour £ — 0. Après cela, on peut prendre e —0, et il vient Ve. LE” ed v + [Tera 1h 1+e

| =2e-s f'e-n[a tata. Jde

Le) On sait que l'intégrale Î e-"*axk dx converge vers zéro pour n— 00

plus rapidement qu'aucune puissance négative de »#. La valeur approchée du second membre est donc

Lt EPA A. dt V£

ou

Il est facile de voir maïntenant que les parties que nous avons négligées,

ed TER Cl hi ) e-1° dv,

1—v 1— 1+k4 n’ont, en effet, aucune influence sur le développement de R, suivant les puissances descendantes de n. En effet, dans la première intégrale, la plus grande valeur de ve -? est égale à Oe-1, @ étant une fraction positive, inférieure à l’unité. On en conclut 1—-h —v n ‘1 1

et la fraction 6" décroît plus rapidement qu'aucune puissance négative de n. Quant à la deuxième intégrale, en posant v — 1 + w, on voit qu’elle est inférieure en valeur absolue à

es

['a+une-nve-muan

k Soit r la quantité positive supérieure à l'unité, qui satisfait à la re-

lation k 1+Hk—=e";

alors on a évidemment u 1+u<e' pour u>k et, par conséquent,

em

co N — ES [ A+urermme-nt que f PR D TR à

Le facteur qui multiplie e-« décroît encore plus rapidement que toute puissance négative de »#, et, ainsi, l'équation (6) fournit le développement cherché

ie Re ME de Rn = € Vrlatsas+ssa

0V8st lille LE es 2 [Rue er V—ETTRS a n

LE se a 25 \1 | +(% 27 T791 — 21 + as + 508) ER

On en conclut que la valeur de », qui donne R, — 0, est susceptible d’un développement

. Bi 4 Po dont on détermine les coefficients en substituant dans l’expression pré: cédente et en égalant à zéro les coefficients des diverses puissances de 1 : : ; a Nous avons posé a — n +7, et la racine de l'équation R, — 0 est

donc égale à

@) . . .... a=ntn+hshs..

B=+ B=— pee

d’où l’on déduit encore