Envisageons maintenant un nombre a; quelconque et posons
2—=UxU,
w étant réelle et positive. Le point P qui représente z se trouve alors sur le rayon OP4. En faisant tendre vers l’unité, en croissant continuellement, le point P s’approchera indéfiniment du point P;4 de la circonférence C.
On a, d’après (1),
ou bien @ fau t)=r + rt), en posant En ! ax U =) (ut), = 1 ar U F, (u) = a | : 2 n \an —axu
Dans l'intervalle 0 £ « £ 1, la fonction F, (u) est évidemment finie et continue; nous allons voir qu’il en est de même de F, (u). Remarquons pour cela d'abord que
mod sd |
An — Ak ; — mod (an — ax)
Pour le mettre en évidence, joignons par des droites le point P, qui aies représente a, avec O, P et P; et posons Px0 P, = y.
À cause deu<1,ona 4 sin? 3 p £ (1 + u)? sin? &p + (1 — w)° cos? 4 = 1 — 2 u cos p + n°: donc | u < 1 V1 — 2u cos y +u? — 2sinty
Mais cela revient à la limitation indiquée, car
modaxu—OlP =", mod (ax —axu) =PPr =V1— 2 cos p + w?, mod (4än — ax) —= P, Pr — 2 sin 4 y.
Dans la série F, (u), l'indice n est plus grand que k, et, à l’aide de (3), on trouve, par conséquent,
L é 2 et cela dans tout l'intervalle 0<w<1. La série 7. ci étant conver-
gente, on en conclut, d’après un théorème de M. Weierstrass (voir Tannery, Théorie des fonctions d’une variable, p. 185), que la série S 1 1 = axu ) k+1iN An —ArxU est absolument et uniformément convergente dans l'intervalle 0 £u<1. La fonction F, (u) est donc finie et continue dans le même intervalle, et lorsque « tend vers l’unité, F, (u) et F, (uw) tendent vers les valeurs finies F,(1) et F,(1). En posant F,(1)+F,(1)— A, l'équation @) nous montre donc que
lim |f (au) — | . Le
On voit par là que, lorsque la variable z s'approche indéfiniment de la valeur a; en conservant constamment le même argument que ax, alors la partie réelle de
po = Ÿ cvs
est positive et croît au delà de toute limite. Au contraire, la partie purement imaginaire de f(2) tend vers une limite fixe.
4. Soit maintenant (2, P,) un point quelconque à l’intérieur de C; on a
Le) = (es) + Peu) (a — 20) + CD (2 — a) +,
et le domaine de convergence est un cercle C, décrit de P, comme centre avec un rayon au moins égal à 1 — mod,
Mais il est impossible maintenant que ce rayon soit plus grand que 1— modz,, de manière que l'intérieur de C, tomberait en partie en dehors du cercle C.
En effet, dans cette supposition une partie de la circonférence de C se trouverait à l’intérieur de C,. Prenons un point (ax, P;) sur cette partie de la circonférence C (il y en a une infinité). La valeur de f(2) devrait être finie pour z= 4; et, lorsque le point + s'approche de P suivant le
rayon vecteur, la valeur de (2) devrait tendre vers cette valeur finie de À (ax).
Mais nous savons que cela n’a pas lieu, la valeur de (2) ne tend pas vers une limite finie, parce que sa partie réelle croît au delà de toute limite.
En considérant la fonction f (2), le cercle C forme donc bien la limite naturelle pour le domaine de la variable z. Il est impossible de continuer cette fonction en dehors de ce cercle.
(Nouv. ann. math., Paris, sér. 3, 6, 1887, 210—215.)
Note sur la multiplication de deux séries.
Supposons qu’on ait deux séries convergentes
S=U+u+us+..., = 0 +0 +v +...
Lorsque ces deux séries sont absolument convergentes, on sait que la série Eu,vg formée par les produits deux à deux de leurs termes, écrits dans un ordre quelconque, sera absolument convergente et égale à st (Jordan, Cours d'Analyse, t. I, p. 110).
Dans la suite, nous supposons que la série
= 0, + 0 + dv +...
est absolument convergente; mais quant à la série S—=U + U + us +..., nous ne supposerons rien de plus que sa convergence. Dans ces conditions, la série £u,v$8 n’est plus nécessairement absolument convergente, et par conséquent il faudra préciser l’ordre dans
lequel on effectue la sommation.
Ecrivons pour cela les termes u,v4 dans le Tableau suivant
Ui Vis UoUi, Us, WMV, ., Un Vos UoVos UgVos UaVay +.
Un Vas UV, Us Vas UaVgs UV, UV, UgVas UaUgs
Sa NS ver RS 7
ou, plus simplement, en indiquant les termes u,v par des points
Traçons maintenant dans ce Tableau (A) une courbe C qui est coupée en un point seulement par une droite horizontale, et prenons la somme de tous les termes #,v$ qui se trouvent du même côté de cette courbe que w7.
Si maintenant la courbe C se déforme d’une manière quelconque en s'éloignant indéfiniment, mais à la condition d’avoir toujours une seule intersection avec une droite horizontale, nous aurons fixé par là l’ordre dans lequel on doit prendre les termes de la série £u,v8. Nous allons faire voir qu’on a alors
Eu,Vg = St.
Soit L la limite supérieure des modules des sommes U; ’ U + Vo) U + Uo + Us; U + Uo + Us + Us, 2 0:84 SECTE . . . . ,
et «, la limite supérieure des modules des sommes
Un+1;
Un+1 + Un+2»
Un+1 + Un+2 + Un+s,
Un+1 H Un+e + Un+s + Un+a
Alors L est finie et «, converge vers zéro en même temps que , parce
que la série s — u, + u, + u, +... est convergente. Soit enfin 7, la limite supérieure des sommes
mod Un+1»
mod Un+1 + mod +0, MO Va+1 + MOd Vh+2 + mod vhs,
Comme nous admettons que la série T = mod %, + mod v, + mod v, + ...
est convergente, 7, converge encore vers zéro en même temps que —. Posons maintenant
8n = U + Uo +... + Un, fn = 0 + Vo +... + U, et prenons dans la série Zu,vg un nombre de termes assez grand pour y retrouver tous ceux du produit 8, #».
La courbe C enveloppera alors le carré
ur e e LL . .
M ee %%]| + bp «y, C2 0 LA e e
et, si nous prolongeons le côté horizontal inférieur jusqu’à l'intersection avec C, nous aurons
(Eua Vp)e = Sntn + P + Q.
P=. v(un4a + Unye +...) + Vo (Un+1 + Un+e +...)
+ Va (un+1 + Un+e + ...),
Q—= Vn+i(u + U + ue +...) + Un+a (us + uo + U3 +...) + Un+s (ui + Uo + U3 +...)
D'après ce qui précède, on a évidemment mod P << e, (mod v, + mod % + ... + mod. vs) < Te», mod Q < Ln», ‘ d’où l’on conclut, pour n — «, limP—0, lim Q —0, et, par conséquent,
EuÇ,Ug — lim Sutn = St.
