SOMMES
Nous avons mis à profit nos résultats pour calculer la constante Eulérienne d’après la formule
C = 1 + log 2 — log 3 — rie
et nous avons obtenu la valeur suivante qui est exacte avec 33 décimales :
(Paris, C.-R. ass. franç. avanc. Sci., sess. 16, 1, 1887, 168.)
Sur les maxima et minima d’une fonction étendue sur
une surface fermée.
Pour une surface fermée simplement connexe, le nombre des maxima et minima surpasse de 2 unités le nombre des cols (points où il ya maximum par rapport à deux angles dièdres opposés, minimum par rapport aux angles dièdres supplémentaires). C'est un résultat qui découle facilement d’un article de M. Reech (Journal de l’École polytechnique, Cah. 87).
En généralisant, pour une surface fermée quelconque, 24 + 1 fois connexe, on trouve 2—2% pour la différence entre le nombre des maxima et minima et le nombre des cols.
(Nouv. ann. math., Paris, sér. 3, 7, 1888, 26 —31.)
Sur une généralisation de la formule des accroissements finis.
1. M. H. A. Schwarz a donné, dans les Annali di Matematica de Brioschi (série IT, t. X) le théorème suivant:
Soient j, (4), (1), ..., fn (t) des fonctions réelles d’une même variable réelle 4. On suppose que ces fonctions, de même que leurs dérivées jusqu’à l’ordre n — 1 inclusivement, sont finies et continues.
Dans ces conditions, si 4, t,,...,/, sont n valeurs différentes appartenant à l'intervalle a, b, le quotient
A) RG) eh) Plume) fie) RD h@) |, 1h.) |
fan) fan) ee fat) | Tite.)
n'est pas plus grand que . et pas plus petit que P 8 D RD a De Pre pe
11213 — @— Di M désignant la plus grande, m» la plus petite des
valeurs du déterminant
fi (€) fa (€) .. fn (€) fi (e”) fa(e") . fn (67) PATOR ET ORT ET sous les conditions
re, lSrPSU: SE" Shi... -0SIO S D.
Comme le remarque M. Schwarz, ce théorème permet d'établir, d’une manière rigoureuse, certaines propositions fondamentales dans la théorie des courbes planes ou gauches. Soit, par exemple, M un point d’une courbe gauche, et prenons sur cette courbe trois points infiniment voisins de M. Le plan osculateur en M est la position limite du plan qui passe par les trois derniers points. A l'aide du théorème de M. Schwarz, on reconnaît aussi clairement les conditions dans lesquelles cette proposition est exacte.
2. La démonstration que M. Schwarz a donnée de son théorème est extrèmement simple. La circonstance qu’elle exige des intégrations nous a conduit à chercher si l'on ne pourrait pas arriver au but d’une manière plus élémentaire.
Nous avons reconnu alors que le quotient considéré est égal à
A) AR) ee Tete) à | 1 At") fa (€) DR Te HE 1121381...(n—1)! a pie
AGE) FE). je)!
où dl —k#, (=(h, db), = (hi, bte), Ai LE lo: ln), (lt, ..., tx) désignant un nombre compris entre le plus petit et le plus grand des nombres #,,4,,..., tx.
3. La démonstration de ce théorème s'appuie principalement sur le lemme suivant. ; Si une fonction (1) s'annule pour » valeurs différentes de la variable
f(t) =0, f(t) = 0, “Nr (tn) = 0, alors on a
fa (8 =0,
Em RE, DX
Il faut supposer que la fonction / (!) admet des dérivées f(t), f/'(t), ..., f®-—? (t) qui sont finies et continues et que /*-?({) admet encore une dérivée finie ft -1(f), mais on n’a pas à supposer que /(*-1({) soit continue.
En effet, soit, par exemple, n —3 et
CLR Ayant ; f(t)=0, f(b)=0, f(t;) = 0,
on en conclut d’abord f'(t")=0, f'(t")=0,
t' étant compris entre #, et {, (en excluant les limites), et //’ entref, et ki. Ayant donc # "4 é,
on voit ensuite que la fonction f’’(t) doit s’annuler pour une valeur de la variable comprise entre f/ et {”', valeur qui sera comprise aussi entre t et ts
4, En s'appuyant sur ce lemme, la démonstration du théorème énoncé est très facile. Nous supposerons n — 4, et posons
fon) kfx)..k(x)| |1 à À ©.
(1) f() 9) h(y) kw). 1 y Ÿ y |, FU) 96) hf) 8) 1 6 2 T7 ft) gg 1Q kbliites)
Considérons la fonction |f(&) gx) h(x) k(x) | 1 x dd __|f(y) g(y) h(y) k(y) 1.y AI | #00 g (2) 6) &(e) | 42% 2 #8 + | f(u) ge) hu) k(u) | |1 u w
Il est clair qu’on a identiquement F(x)=0, F(y)=0, F()=0, et encore, à cause de la valeur A,
On en conclut F()—=0, où = (x, Y ; 2, t), ce qui revient à
(JG) 4@) 1@ kG@ | RREU G) gg) h(G) kG) |. TU Die ve +0 ei / ABS
| f"@) gg) h"@) "(0 | Soit maintenant
f(y) g(y) h(y) k(y) | F2 LUS (CHR SES 2
| Fa (£) 7 (£) h'"! (ê) k'’! (6) Il est donc clair qu'on a S(x)=0, G(y)=0, S(2)—0; donc S"(7) =0, où | 7 — (x, y) 2).
On a, par conséquent,
(f@) g@) A (x | FU) 96) h(y) k(y) | DAT
Oro ge) 2e) 600] COTES | | lé (£) ” él (Ÿ) à" (£) k'"(È)
Considérons enfin la fonction
su )/() 9%) RG) EG) Fr) 9g"(n) k’(n) k"(n) f"(&) g'''(£) h'"{(à k'"" &))
Il est clair qu’on a
de "A rriled.: 1. 2.8 | À.
lu
donc ÿ'(£) = 0, où E = (x, y).
Or cela revient à
f(@) g(@) ht) ka) f'E) g'@ #@ KE :
tent. 2:4:8.8.8A=0,
fn g'@ K'G Km) |
ce qui est l'expression du théorème annoncé.
On remarquera que cette démonstration suppose seulement que les
dérivées secondes
f"@), og"), Rk”(@), &k”( admettent des dérivées | | xd (t), g'! (t), h'" (é), k!!! (é);
mais il n’est pas nécessaire de supposer que ces dernières fonctions
soient continues.
Mais, si l’on ajoute cette dernière condition [la continuité de /”/(t), g''(t), k!'(1), k”’(t)], on conclut directement que, si x, y, 2,t tendent vers une même limite 4, on a
f(a) ga) h(a) (a f'(@) g'(a) ha) #'(a)
f'(a) g'(a) k”'G@) k”() | | id (a) 1 (a) h!"! (a) k!'! (a) |
lim À —
(Paris, Bull. Soc. math., 16, 1888, 100— 113.)
Sur une généralisation de la formule des accroissements finis.
1. Soient f(u), g(u), k(u), k(u) quatre fonctions réelles de la variable réelle u. On suppose que ces fonctions sont finies et continues, ainsi que leurs dérivées du premier et du second ordre, et enfin que
f'@), 9"), NW’), K'(0, admettent encore des dérivées fu), g'(u), h''(u), k!(u) mais qui ne sont plus nécessairement des fonctions continues. Si maintenant x, y, z, t sont quatre nombres inégaux, nous allons considérer le rapport des deux déterminants
| f(&) g(x) h(x) k(x) | | (Y) g(y) A(y) k(y) | fG@) g@) R(2) k(2 FO g@ RG k(®
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