LP
Lt.
Nous désignerons ce rapport par A, D A=T-
Il est clair que A est une fonction symétrique de x, y,z2,t, et nous pouvons supposer
D VC EEE
On a ainsi
f(&@) gx) ha) k@) | 1x + EONOEUROIMNESEN IR | fe) g@) ho k( . LICE if |
f& g@ AE k(E RICHE
Remplaçons, dans le premier membre, { par une variable w, on obtiendra une fonction de # qui s’anhule pour u—z et pour uw —1#, et dont la dérivée s’annule par conséquent pour une valeur u = £, —(z, 1), en désignant par (2,t) un nombre compris entre z et { (en excluant les limites).
On a donc Lf@) gG@) kG@) k@ [ze + | F@ 9 RG ED Lu À f@) g(@) AG k(@ | ES l'E) g&) WG) kG)| US CIRE TE
Remplaçons, dans le premier membre, z par une variable u: on obtiendra une fonction de « qui s’annule pour uw —7 et pour u—2 et dont la dérivée s’annule pour u — 7, —(y, 2):
F@) g(x) h(x) k(x) | OC à a | f@ g@ hG@) k@ | 1 wl, L'En) 9/6) h'Gm) #'Gn). 0128 8m) En g'E) hG) k'G): 0 1 24 8% En continuant ainsi, il vient f@ g@ h(® k() tie | f@) a°@ WG) F@ | 10 136 88, fn) g'(m) km) k Cm) | RS RE T UNE f'G) 9) NE) k@) | l'o1 #5, 84 = (x, y), M = (Y, 2), & = (2, t).
LLE<Lm< Lt.
Remplaçons maintenant £, par une variable «, on aura dans le premier membre une fonction de qui s’annule pour u—#,, u—£, et
l’on en conclut
Fa) gx) h(x) k(x) 12 #1 # l'E) g'@) '(®) ‘ KE) y à ONE 2p WA 6 | l'O) 9’) km) km) 0 1 2m 3m |f"G) g"@) N'(G) (C2) 06 20464
Lo = (71 Gi); D LE LM < bo Lt.
En remplaçant encore y, par une variable #, on trouvera, par le même raisonnement,
LF(@) gt) ht) kr) | is: M + FE r@. NE, HO ER FC) 9") NO K'(n . die Vtt PES AE | f"G) 9g”() h"(G) k"(G) | nd bd. à 7 1 (£, M), TELLE <t:
Et, si nous remplaçons enfin £, par une variable w, on trouvera | f(x) g (&) h (x) k (x) L 2: fi: | fl g@ KE KE 10128, Cf") gen k”’(n kr) LE Du Ch AS | Fe (Ë) Fe (Ë) h''! (Ë) k!'! (Ë) | 0 0 0 6 |
ë = (7, Lo); LLELY<LÈ<t,
c’est-à-dire
F@) g(@) hk k() 1 l'O g' kE K'(E 1121381 |f"(n gg’) k'(n k'(@) f"@ g”@ hk”"@ kK"@ Ayant E—(x, y), m —(y, 2) et n = (£, .), on en conclut n = (x, 2) et l’on trouvera de même £ —(x, t).
Le résultat que nous avons obtenu peut s’énoncer ainsi:
CE
Le rapport A n'est pas pl d Fe. lus cetit que pp st pas plus grand que :,5,3; et pas plusp qu
ETES , en désignant par M la plus grande, par m la plus petite des valeurs du déterminant,
f (u) g (u) h (u) k (u) fu) g'(&w) h'(w) k'(u p (u/”) g"’ (u’’) 7 (u’”) k!’ (u/’) PH (u’/’) 2: (u’/’) 2! (u’’”) 2 (u/’!)
sous les conditions
#4, u SW <£y, W £w' <a, US À
C'est là un théorème qui se rapproche beaucoup d’un autre théorème donné par M. H. A. Schwarz (Annali di Matematica de Brioschi, séri II, t. X). La limitation que nous venons d'obtenir est un peu plus resserrée que celle donnée par M. Schwarz.
