Notre démonstration suppose seulement que les fonctions

fu), g”(u), k7(u), K7(u), admettent des dérivées * #f (u), g'"’ (u), A7 (u), &’/' (u).

Mais supposons maintenant en outre que ces dernières fonctions

soient continues, et faisons tendre dans la formule (1) x, y,2 et { vers une même limite a; il viendra

| f (a) g (a) k (a) k (a) x À - Le g’ (a) k' (a) k” (a) 112181 fa ga h’(a k”’(a) f"@ g"@ K’@ K"@ Considérons le cas où les nombres x, y, 2, t tendent de telle façon vers la limite a, que a n'est jamais en dehors de l'intervalle (x, #). Nous allons montrer que la formule (2) subsiste alors sous des conditions bien plus larges relatives aux fonctions f(u), g(u), h(u), k(u). En effet, il suffit alors que ces fonctions soient finies ou continues Il 8

(2) . . limA— |

ainsi que leurs dérivées du premier et du second ordre, et que les expressions

h h WOFNEI® *" ORDER h h

tendent pour h —0 vers des limites déterminées que nous désignerons encore par f’’’ (a), g'’ (a), hk’’’ (a), k’” (a).

On voit donc que dans la suite nous ne supposerons pas l'existence des dérivées f’’’(u), g'”’(u), h''’(u), k//’(u) pour des valeurs de la variable autres que a: la formule (1) devient donc inapplicable. Mais nous supposerons toujours

t< 4, a st.

3. La démonstration de la proposition que nous venons d’énoncer se compose de deux parties.

D'abord on démontrera que la proposition est exacte dans certains cas particuliers; ensuite on ramènera le cas général à ces cas particuliers.

f(x) g(x) h(x) Kk(x) [(y) g(y) h(y) k(y) f(2) g(e) h(:) k(e) Of) g(é) A) k()

En remplaçant { par une variable , on conclura

f(x) gx) Rx) k(x)

(a) g(e) hfz) k(e)

f(@) g'() h’(&) #(6) Ci =, 1)

Soit maintenant

iébrsene iniuk ad B—(2—7)c.

Après avoir substitué cette valeur de B dans l'équation (4), on trouvera

® (fm) dm) (mn) xt) |” o | f'(G) g'(&) h’(&) Æk’() | M = (y, 2).

Posons