I - Dans le cas particulier où l’on a
f'(@)=0, g’'(a)—=0, N'’(a—=0, %7”(a)—0, la proposition énoncée est certainement exacte, et l’on a dans ce cas lim À — 0.
Supposons maintenant que l’on ait seulement f'(a)=0, g’’(a)=0, hk”(a)—0,
mais k4//’ (a) z0. Les quantités P, Q, R tendront vers zéro, S restera fini. Or le coefficient de S, dans le déterminant (14), est
f(x) g(x) h(x) | f'@ 9 »(G@}, Fr) gr) K’'(n) et les fonctions f(u), g(u), h(u) étant finies et continues, ainsi que leurs dérivées du premier et du second ordre, ce coeffcient tendra vers zéro dans le cas où l'on a
|f(a) ga) A(a) f'(a) g'(a) k’(a) |f'(a) ga) k”(o
= QG
On en conclut:
IT Dans le cas particulier où l'on a
et
fa) g(a) ha) |
fa) g’(a) (a) —0,
| Pad (a) g'’ (a) h’’ (a) la proposition énoncée est exacte, et l’on a lim A = 0.
Considérons enfin le cas f(x) =1, g(x)= x, h (x) = à.
On a identiquement
SC, k (a) — Os 12.0 kit) k'!” (a) . | 1 2 AD RS oi RAS Lis: 8 k (o) KO). à 1 t l? k (6) us 1 ét LE k( —# ee .
Or on a, d’après (1), M im =),
en sorte qu’on trouve dans le cas actuel
2 124 (a) imA=TS 5
IT. Dans le cas particulier f(&)=1, g(x)=x, h (x) = +, la proposition énoncée est exacte et l’on a
é A k!'’ (a) MAS Ts
4. Il sera facile maintenant de traiter le cas général. Pour abréger l'écriture, nous désignerons le déterminant D ainsi
Comme nous avons déjà traité le cas LT (a) ST dé (a) — | “ri (a) — td (a) — 0, nous pourrons supposer que l’un au moins de ces quatre nombres ne
soit pas nul, soit k'!! (a) 0.
Fe) EE @ = À @),
ge) — PE = 0 h''’ (a)
A 2 7 Vod acda de (&);
on aura identiquement
D=|f(), g(@), h (x), k(&) |, et il est clair qu'on a fr (@)=0, gr (a) =0, hi" (a) = 0.
Par conséquent, dans le cas où le déterminant A@ @ M.
D,=| fi(a) gi(a) (a) | fi(@) gf@) AMG) est nul,ona
lim À —lim A —0,
d’après le lemme II, ce qui est bien conforme avec la proposition générale.
Nous n'avons donc qu’à considérer le cas D, Z 0. Or, dans ce cas, l’un au moins des mineurs de D,, qui sont les coefficients des éléments de la dernière ligne horizontale, doit être différent de zéro. Supposons que ce soit
|A@ 2 | fA@ gg | qui n’est pas égal à zéro. |
Un au moins des éléments f, (a), g, (a) doit être différent de zéro: supposons que ce soit
D; — fi (a) qui n'est pas nul. | Calculons encore les constantes
D D ue =" Tr =D,
On a maintenant identiquement AG AO, h@, A] A @ à), (@—a), k(@)
+ A @ 9 Go, M @ — a, kw |,
Fi 1 l
(A), z—a, (x— a}, k(x)| = r |1, xz— à, (t— a), k(x)| + A (&)—7r, z—a, (x — a), k(x) |
et par des substitutions successives Tr |1,æ—a, (x — a}, k(x)| +? + (A @)—7r, —a, (x— a}, k(x) | +55 AG a @—T @— a), (@— a), k@ + LA @, go, lo — À 6e — a), k (|.
En divisant par A et en passant à la limite, on trouve directement les limites des rapports des déterminants au second membre par les lemmes IT et III. En effet, ayant
il vient d’abord, d’après III,
lim | 1, x, a?, k(x)| : A =
Les trois autres rapports sont nuls d’après le lemme IT; en effet on a
TTC "0
fi (a) 1 O0 |—2(D;—7r)—=0, fi (a) + nd: 4 |
fi (a) g: (a) 0
fit) g(a—g 0 |—2(D; —gD;) =0,
fi(@) g'(a) 1.2 ft) ga) (a)
fi(a) gi(a) hi (a) Std pute {(a) gf(a) (a) —p Il vient donc à K" (a) f.(a) gi(a) k(a) im D PO pr) (a) gé(e) (0) |—= fi(a) g'(a) A(a) f(@) ga) ka k (a) | __ 1 |fi@ gi) Ml) # (a).
112181) ff() g(@ (a k'( 0 0 O K"(a)| ou f (a) g (@) k (a) k imD 1 |f@s#(@ nt Kx( A 112138!}f'(a) g’(a) *’(a) #’(a) fr (a) g" (a) lé (a) k"' (a)
Notre proposition est ainsi démontrée dans toute sa généralité.
Il est clair que la condition que a n’est jamais en dehors de l’intervalle (x, t) sera toujours satisfaite si l’on suppose que l’un des nombres z, Y, 2, t reste constamment égal à a; les autres peuvent alors tendre vers a d’une manière quelconque.
Nous avons considéré des déterminants du quatrième degré, mais il est à peine nécessaire de dire qu’on peut énoncer un théorème analogue dans le cas d’un nombre quelconque n de fonctions n Z 2.
5. Pour montrer une application, considérons une courbe gauche x = (t), y = y (t), 2 —}(t), p{t), y(t), x(t) étant des fonctions réelles de la variable réelle t.
Soit M un point de la courbe, correspondant à 4—#,. Nous adopterons la définition suivante du plan osculateur en M: le plan osculateur en M est la position limite (s’il y en a une) d’un plan passant par M et par deux autres points de la courbe, qui sont infiniment voisins de M.
Les deux autres points correspondant à 4—t, et 4—t,, l'équation du plan passant par les trois points est
| 1 wyi(t) 4 (to) | 1 % (to) P (to) | 1 y(t) (4) [X—p(tH]+|1 74) pt) 1 y(t) x(t) 1x(t) (tb)
1 CY — y (to)] +
1 pt) y).
pt) wi) I[Z— x(6)]=0.
lt) y)
Supposons maintenant que les trois fonctions
#0 EE ‘ soient finies et continues, ainsi que leurs dérivées Pr Pr 4 et enfin que ces dernières fonctions admettent des dérivées, mais pour la valeur particulière t—t, seulement.
En divisant alors par
1 ge Er à 1 & |
et en faisant tendre {, et t, vers t,, il viendra
| p’ (ko) x’ (ki) | 4! (to) p’ (ko) X — ET re RE) on lEE = ®” (to) #’ (bo) 2 — 0, A P°"(t) p’’(t) L 2 (ho]
Par conséquent, si cette équation représente un plan déterminé,
c’est-à-dire si les coefficients de X, Y, Z ne s'évanouissent pas à la fois, ce plan sera d’après notre définition, le plan osculateur en M. Et l’on voit que l’existence de ce plan suppose seulement que
P'(bo+n)— pt) +) —v"' (to) 2 Co + A) — 7’ (fo) h ‘ h à h
tendent vers des limites déterminées pour h —0.
C’est là un fait analogue à ce qui se présente dans la théorie des courbes planes, lorsqu'on définit la tangente en un point M comme limite d’une sécante passant par M, et par un second point de la courbe infiniment voisin de M. Alors, si l'équation de la courbe est
l'existence d’une tangente en M (a, b) suppose seulement que
TIGE TA) h
a une limite déterminée, mais la fonction f(x) peut très bien ne pas admettre une dérivée pour d’autres valeurs de la variable.
Il est clair que la proposition que nous avons établie permet d’énoncer des propriétés analogues relatives à l'existence du cercle osculateur, de la sphère osculatrice, etc.
