LIX

(Nouv. ann. math., Paris, sér. 3, 7, 1888, 161—171.)

b Note sur l'intégrale Î f(&) G (x) dx.

L'objet de cette Note est la démonstration de la proposition suivante: Soit f(x) une fonction non décroissante entre les limites x — a et

x = b (a < b). Alors il est toujours possible de déterminer »n constantes L;, Lo ; 0. Tn

BU << La Lee IR Mani Ci CD, et n + 1 constantes à, , &,..., An +1 qui sont comprises respectivement dans les n + 1 intervalles formés par les n + 2 quantités

fa), Fu), Fa), ..., f(&n1), f(&n), FO),

de telle façon qu’on ait

[r@ Gon (x) dx =& [ Gon(a) da + a [ Grn(o) da +5 [ Gon(o) da +...

Un b + an | Gon (x) dx + an+1 ] Gon (x) dx.

Ln—1 Ln

Gen (x) étant un polynôme quelconque en x du degré 2n au plus.

1. La détermination des constantes xx, ax est évidemment un problème déterminé car les conditions imposées fournissent 2n + 1 relations entre ces inconnues. Pour les écrire, nous pouvons prendre

Gon (x) = (x — aŸ

en faisant

Il vient ainsi +1) (e— a) r(o da

\ — (An +1—0n) (Æn— Q)* +1 + an+1(0—a)" F1 Remplaçons dans cette relation 4 par k + 1 et retranchons les deux équations, après avoir multiplié la première par b— a; on aura

[TE— a+ 1) — (+2) (6 —a(e — a} da

D Ua) a)" | (4 —0,1,2,...,2n—1).

— (n+1 — An) (d — Æn) (tn — a) F1

Pour simplifier, nous posons (3) nt à (ax+1 — ax) (b — xx) (Gr — a) = Ar = SU n). et nous remarquons que ÎLE — à) + 1) — (6 + 2) (ù — a) (x — a) r (a) da = (b— 2) (x — a)41 f(œ) — | (b — x) (x — a) +1 P' (x)

Les relations (2) peuvent donc s’écrire

fo) (x— a)*+1f'(x)dx

= À, (&, — a} + As (to — a} +... + An (an — a)°

et il est clair par là qu’on aura

[ex (x — a) f' (2) Con 1 (x) dæ

= À, Gon—1 (x) +- Ao Gon—1 (2) + De ee An Gon—1(Zn)»

Con 1 (x) étant un polynôme quelconque en x du degré 2n — 1 au plus.

On reconnaît maintenant que la détermination de x,, 2, ..., 2, A, A°,-.., A revient à la solution d’un problème bien connu. On sait que Li, Lo, --., An SONt les racines de l'équation

(6) . . . . . . Pha)=dtog"-1L,, =0,

P, (x) étant le dénominateur du degré n d’une des réduites de la fraction continue

LE @— 2) (2— a) f' (2) ” | — d2

T — 2 (6). . . : tm lo b x — a, — 2

Ces racines sont réelles, inégales et comprises dans l'intervalle (a, b), et nous pouvons supposer

GC LL Lo Te KT La D

On connaît aussi l'expression des constantes Az qui sont positives. En

posant d Pr NES n Qn (x) = | @—2) (2— a) f' (2) es @ &z, pe est une des réduites de la fraction continue, et l’on a Qu (xx) Ar = —— k=1,1,85.,0 . P, (xx) .

On peut encore se servir de la formule suivante qui n’exige pas la connaissance du numérateur Q, (x), ki l “à D Pn1 (tx) P, (x)

RL —1,2,...,n).

Les constantes 4;, a; qui figurent dans la fraction continue et les polynômes P, (x) se calculent de proche en proche par les relations

Po = 1, Pi=x—%, (8) nent AE ie oi Re P,=(x — a) P, —14,,

Petit — af) Pr — x Pr;

b = | @—2)(— a) f'(e)dz

-b AS | (o— 2) (2 — a)f'(z)[Px (2) P de

du =“; ETS fé À GR” | b— 2)(2— a)f'()[Px- 10) PF ds

b "| @—2)(2—a)f'( 2[P:()Pdz

Î —2)(2—a)f(2)[Px (PF dz 2. Il reste à trouver les inconnues a,,4;,,...,aän+1. On connaît d’abord, par les relations (3), les différences M 00 Mure ds M=1,:8,..,,1)k

Pour achever la détermination des 4, il faut recourir à l’une des équations (1). En choisissant, pour plus de simplicité, la première (4—0), on a A, A, A,

b (+: } fre@da= 6 ans

Cette équation fera connaître 4,41, et l’on trouve ensuite tous les az à l’aide de (11).

Des combinaisons et réductions faciles fournissent, du reste, les formules suivantes :

RL PAR OR Le RS =f © 18e De ner ent er ent Donna | © — a) [ax +1 — f(xx)] = — ['&—oœr (x) dx + A, A» A% (14) PT attire = 1,2...

+/f (b — à) f(x) dx — Tg

(@— a)[f() — ar+1]

b (15) =f@—0r (as ie, — fn (o — a) [f (xx) — ax] =" ar @az— À: À dr. LD.

(16) b—x, bd "bar 1 )RE1,2,...,n) — | G— af (dx + À Ax+1 An Tr PAL thgfre

3. Le problème proposé est ainsi résolu complètement; il nous reste seulement à démontrer que les constantes @,, @, ..., 4n+1 Sont comprises respectivement dans les intervalles formés par

Fa), fi), F2), ..., f(@n), FO).

Remarquons d’abord qu’on a évidemment (11) OU Le LB Le... L'An L'An+1

Ensuite nous observons que l'équation qui nous a servi de point de départ peut s’écrire

rb b f (&) Gin (x) az=| p (x) Gon (x) dx,

en désignant par æ(x) une fonction discontinue, non décroissante, définie de la manière suivante :

p(&)= a pour a KE QAR p (&) = & » Li LT< Lo, 4 € PP ES Pen és En ï PL = n Tn-1 TL << An, P(X)=Ant1 , Ln LT < bd.

On a, par conséquent,

JE) — 9 to at 42 = 0 Ge

On en conclut que la différence

f(&) — (x) doit changer de signe au moins 2n + 1 fois dans l'intervalle (a, b). En effet, si l’on suppose que le nombre / des changements de signe soit inférieur à 2n + 1, donc

l=2n, et que ces changements de signe se produisent pour me X,, 2 À, ….…, 2 Les,

il est clair qu’en posant

G (x) = (x — X:) (x — X2)... (x — Xi), la fonction

Lx) — p (x)]G (x) aurait un signe constant dans l'intervalle (a, b). Or, G (x) étant un polynôme de degré 2n au plus, on doit avoir

[Er — w (271 (9 de = 0,

ce qui est impossible. La supposition ! < 2n est donc inadmissible et

f(&) — p (x) doit changer de signe au moins 2n + 1 fois dans l'intervalle (a, b). Or, si l'on construit les lignes y = f(x), y = px), et qu’on se rappelle que f(x) est non décroissant, on voit immédiatement que / ne peut pas être supérieur à 2n + 1; ensuite, il est clair qu’on a nécessairement | f@) < p(, (18) . . . ( pitx — €) < f (xx) < p (tx +€) (Æ—=1,2,...,n), p (@) < F(), e étant une quantité positive suffisamment petite. Or ces inégalités expriment précisément la propriété qu’il s'agissait de démontrer.

4. D’après ce qu’on vient de voir, les premiers membres des formules (13, (14), (15) et (16) sont positifs. On peut démontrer aussi directement Il 9

que les seconds membres sont positifs. C’est là une conséquence immédiate des inégalités

1 @— a)f'(x) dx a Zi 2...,.NiL

D de. Ax—1 Ph=m bat be (19) :

k k+1 ñ (20) Sara age ta | è—2/ @dx Ty " " " t=0,1,25:5060 k+1 k +2 ñn A ta ol dd

(On doit prendre x, —a, &n 41 —b dans ces formules). On peut les établir de la manière suivante. Soit

ES PP RE Lo [œ&æ—o/f (x) dx,

‘a m (x) sera une fonction non décroissante et m(a) —0. Définissons ensuite une seconde fonction discontinue et non décroissante, ainsi qu’il suit

!u(x) =0 lorsque a <x<x, — À; AU days » Li LT < TL) A À»

2] (x) = . be ZX. »” La LA< Ts; (22) 1 2 + + + à Diet ÉD OL 5 ss oe se der A, An—1 AS ven » Toit ln M A,