css no CN UE (8) NA —S — a
4. Pour juger de l’approximation avec laquelle nous avons résolu ainsi l’équation R,—0, nous mettons en regard l’une de l'autre la valeur approchée donnée par la formule (8) pour n — 1, 2 avec la
valeur exacte de a, calculée à l’aide du développement
: a a? a LEP=6 Fleet ta gts sg +:
ñn. Valeur exacte. Valeur approximative. Erreur. D 1,3472 1,3459 0,0013 Brcsresvristis 2,34155 2,34141 0,00014
On voit que l'approximation obtenue est beaucoup plus grande que cela n'était nécessaire. |
En nommant toujours N la valeur approchée de la racine de R,—0, nous résumons ainsi le résultat obtenu :
* LIT 1 een + +. + BU LR) 1 8 16 NAS — 105 Ÿ 26515 ne 27 Ordre d'approximation............. e VÈ=
Nous avons ajouté comme ordre d’approximation une valeur approchée du premier terme qui donnerait une valeur trop grande. C’est donc en même temps la limite de l’approximation que peut donner la série semi-convergente, dans le cas où l’on n’a pas recours au calcul approché de R,. En multipliant par e“, on voit qu’on obtient li (et)
DE avec une erreur de l’ordre VE
Soit, par exemple, e% — 110000000000, a — 23,025851 ..., N — 22,692.
On doit donc prendre vingt-deux termes de la série et ajouter encore le terme suivant multiplié par 1— 0,692, d’après le procédé que nous avons indiqué dans l’Introduction. On trouve ainsi
li (10000000000) — 455055614,2227 + 0,5246 1 — 455055614,585.
En prenant n = 93, n = 0,02585 .….…,
on obtiendra une exactitude un peu plus grande en calculant Rx par la formule (7); nous obtenons ainsi la valeur exacte
li (10000000000) — 455055614,5866.
Remarquons que l'emploi de la série semi-convergente présente ici un avantage réel sur l’emploi de la série convergente
Ctlea+t ts gta gt...
car, en calculant vingt-trois termes de cette série, on est seulement arrivé au plus grand terme et il faudrait pousser beaucoup plus loin le calcul pour obtenir l’approximation donnée par la série semi-convergente.
5. La méthode qui nous a permis de résoudre par approximation l'équation transcendante R, — 0 nous sera encore très utile dans la suite; mais nous ne pouvons passer sous silence que dans le cas actuel on peut donner une autre forme très simple au terme complémentaire R,. Cette nouvelle forme va nous donner aussi une autre méthode pour calculer les coefficients du développement
On a, en supposant 0<b<a,
li (es) = ti (et) + [” “au, "b
et une intégration par parties donne (0j eo. L 9 (nue bl iles) — gli L © i(ee)=es( + + pin in) Ë a “É °a e“ (10): . R=ta Rss 7 ns du
an Étant une constante qu'il faut encore déterminer, Mais il est évident que a, n'est autre chose que la valeur de a qui annule R,, et que nous savons calculer avec une grande approximation par la formule (8)
1 8 184 g : . . . + ‘ pes mm —— Gb (n) ANS En — aise T°
RECHERCHES SUR QUELQUES SÉRIES SEMI-CONVERGENTES. 17 La relation
Rh —1— Th + Ry revient maintenant à
d'où, pour a =4», En posant uw — n + v, il vient, après une légère réduction,
mov © : ep era) 4: (1. teste her
en écrivant
P—=An —n—=h 4h hs.
—1+ À AA AÉSESReER
Q—=üAn-1—N —= Po
En développant maintenant les deux membres de (12) suivant les puissances descendantes de n, on obtient d'abord
ET pol sf lou | à L È "LS s)fe ep tons EE + ét alert 6! Cast host n puis
p—q+ sg) +. its +.
En substituant pour p et q leurs valeurs (13), on obtient d’abord,
par identification du coefficient de Z dans les deux membres, 4 Cho — (Bo — 1Ÿ1= 48 Où B= +4.
. LL 1 LL La comparaison des coefficients de ,, . permet ensuite de
me PAR calculer sans ambiguïté par des équations linéaires les coefficients £,, Il 2
Bo, ... Nous avons retrouvé de cette manière les valeurs déjà données
de B, et Bo:
6. La considération de la fonction li (a), pour une valeur de l’argument inférieure à l’unité, conduit à une série de première espèce.
On a see fan far
et l’on obtient, par une intégration par parties ou par le développe: t | et ment de 5»
. 1 1 7: 1.92..:.n— D Do sp ee lr li
D og Her . v'2" RER. * {trees . . ...
EL ni HET
Cette série ne donne lieu à aucune remarque particulière; en posant a—=n—+17, on peut développer R, suivant les puissances descendantes de n, à l’aide des méthodes de Laplace que nous avons déjà appliquées dans le cas de li (e“); on trouve
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