SI
Par une intégration par parties, on trouve
| fo 27 m (da (23) ti =) 2" @— of (as,
et, d’après la définition même de la fonction u (x), on trouve
| (b— x) n(a)az 475 SE vs — CA; (6 — a) + A9 — 2 +... + An (db — x]
En faisant attention à la formule (4), on en conclut
[Em (e) — #91 — 2 dx = 0 (k=0,1,2,..., 2n— 1);
d’où il suit que la différence m (x) — u (x) doit changer de signe au moins 2n fois dans l'intervalle (a, b). Mais, d’après la nature de la fonction (x), on voit facilement que le nombre des changements de signe doit être exactement égal à 2n et qu'on a, en outre, u (tx — €) <°m (tx) Lu (xx + €) Ê AS ONE PEER à À u (b) < m (b).
Or ce sont là précisément les inégalités (19). Pour démontrer les inégalités (20), nous posons
-b ODPamidu se 0 . n(x) =] (b—x)f'(x)dzx et A A An Teri Sur” lorsque ax <x%, A; A, va) = ——"°- +... + ——"— n DL T< Le, (26) Lo — A Xn — Bu ART n ÆTn-1<TL< En,
y (x) = 0 à mx <b.
Les deux fonctions sont non croissantes et n (b) = v (b) = 0.
Ensuite on trouve facilement
bd F (x — a} n (x) dx
(27) 1 b =;pi/ (x — a)*+1(0— x) f' (@ dx et b 1 (x — a) » (x) dx (23) :
= 5 LA Gi — GE A — af 4 4 Au Go.
On voit par là qu'on a
b [mao—r@]&—amtdx—0 (—0,1,2,...,2n—1);
d'où il suit que la différence n (x) — v (x)
doit changer de signe au moins 2» fois dans l'intervalle (a, db). Mais, comme tout à l’heure, il est facile de voir que le nombre des changements de signe doit être exactement égal à 2»#, et qu'on a nécessairement y (Ge + €) < n (x) < » (Mk — €) k—1,2,...,,n, v (a) < n (a).
ce qui équivaut aux inégalités (20).
(Bul. Sci. math., Paris, sér. 2, 12, 1888, 222— 227.)
Sur l'équation d’Euler.
1. L'intégration générale de l'équation dx dy DE vi 2 PL TVT X—=açat + 4a, 2 +6a à +4a,x+a,, Y=a,y" +4a ÿ + 6a:ÿ + 4a3y +, peut se mettre sous la forme élégante
0 1 17 TE T'Y 1 CE (a) FA do d lo — 2m | — re TE d a + m az | xy Go — 2m ds a, |
m étant la constante arbitraire.
Cette formule est nouvelle peut être, du moins nous n'avons pas réussi à la retrouver dans les nombreux travaux sur ce sujet. Toutefois elle découle très facilement d'un Mémoire de Richelot (Journal de Crelle, t. 44, p.277), mais elle ne se trouve pas explicitement dans ce travail. L'analyse suivante diffère très peu de ce qu'on peut lire dans le Mémoire de Richelot.
2. Considérons une forme quadratique ternaire p—=aX?+bY?+cZ L24YZ+2eZX +2FXY et la forme adjointe p—=AX?+BY+CZ’+2DYZ+2EZX +2FXY,
qui peut s’écrire aussi
Va
N +4 4 © ® s à bd nn © #4
Nous suivons maintenant la méthode d'Euler: ainsi nous prenons pour point de départ une équation doublement quadratique et symétrique à deux variables x et y.
Pour cela, nous annulons la forme æ après y avoir effectué les substitutions
) , : . : X=1, vases, Z= 2.
Il vient ainsi
(2). a+ 40 (x + y) + ca y — dxy(x + y) + 2exy — f(x +y)=0, ce qu’on peut écrire aussi O=X+XY + XY = Yo + V2 + Ya, X,—=a—fx+4bax, X;,=—/f+(2e+4b)x— de, X,=}b— dx + ca, Yo, Y1, Yo étant les mêmes fonctions de y.
On en tire l'équation différentielle dx dy d'à xx ALT et, si l’on effectue maintenant l'identification XP—4X,X,—=açat +4a © +6a 2 +4ax+a,
on trouve
ay —= dd —0bc,
a —=Ccf—de,
(8) . . . . . . (6a=4(e—0a0+2(be af}, a3—=ad—ef, a, =f" — ab.
Il s’agit maintenant d'exprimer a, b, c, d, e, f à l'aide de &, a;,&, 43,44 et d’une quantité indéterminée m qui sera la constante arbitraire.
Pour cela, nous remplaçons la troisième des relations (3) par celles-ci
e—ac—=@4+m,
On a donc maintenant les six équations
[bc— À =A=—-«, ac—e =B—=—-a—Mm, ab—f?=C——a4,, (
+ ai M MRNEOLE a De 0.
df—be=E=—-a +2m, de—cf=F=—-"«a.
Or la détermination de a, b, c, d, e, f par ces relations n'offre aucune difficulté: en effet, on sait que la forme adjointe de y, est simplement égale à Ap, A étant le déterminant de y, donc
Aa—=BC— D}, Ab—AC—E? Ac=AC—F!, Ad—=EF—AD, Ae=DF—BE, Af—=DE—CF.
On obtient maintenant l'intégrale générale cherchée en substituant ces valeurs de Aa, ... dans l'équation (2), qu'on multipliera d’abord par A. è
Il est clair par là que la relation cherchée s'obtient simplement en annulant la forme adjointe de y, et en effectuant les substitutions (1). Dans la relation ainsi obtenue
ENR T0 XAFE , OR Di:
»: E «D C1 il suffit de restituer, au lieu de A, B, ..., leurs valeurs (4) pour ob-
tenir le résultat annoncé (a).
3. Supposons que l’on détermine la constante »m par l'équation cubique
Un a G—2m dy —2m (A d
S = da, — 44, a3 + 3 ai
sont les invariants de X=0,x+4aæ+...+a.
Alors on sait, d'après une propriété connue des déterminants (ou des formes quadratiques), que le premier membre de (a) est un carré parfait. Ainsi la relation entre x et y se réduit dans ce cas à une équation de cette forme
p+q(x+y) +rxy ou y=—ÀTI
relation qui doit toujours satisfaire à l'équation différentielle. On obtient ainsi, correspondant aux trois valeurs de m, trois sub-
stitutions linéaires qui transforment en elle-même la différentielle ellip- : dx ; ist 4 é tique On voit que cette détermination n’exige pas la résolution de l'équation X —0.- Pour m— , l'équation (a) se réduit à (x — y} —0 et l’on obtient ainsi la quatrième substitution linéaire x —y—0, qui transforme en elle-même la différentielle elliptique. Les trois autres peuvent s’écrire
| 1 do a; | — Er a; do+m |=0, xYy 2 — 2m ag |
m étant une racine de l'équation cubique.
4. Considérons encore le premier membre de (a). En posant x = y et changeant de signe, on trouve facilement
1 L % pi “un =H+mX | —% a; da + m (LAS à | |
a u3—2m GA on |
H = (ay az — a) x +... étant le hessien de X. [Voir aussi Darboux, Journal de Liouville, 2° série, t. XVIIT, p. 220 ).]
Si l’on détermine encore m par l'équation cubique, H + m X devient un carré parfait, et l’on a, par exemple,
Vao a+ aom | 3e din à
VH + mx —
Il est clair par ce qui précède qu’on peut énoncer cette proposition: Soit
ax +2Bx+7y
un polynôme du second degré, qui ne diffère que par un facteur constant de VH + m X.
Alors, en posant
axzy+B(x+y+r—=0,
on aura une substitution linéaire qui transforme en elle-même la diffé-
rentielle elliptique dx.
5. D'après ce qui précède, le premier membre de (a) changé de signe devient égal à H+mX en posant x—=y. Or soient k et f les secondes polaires de H et de X respectivement, h + m/f sera une expression doublement quadratique et symétrique en x et y, et qui se réduit à H+mX pour æ—=Yy.
Mais d’après une remarque due à M. Halphen et qu’on vérifie directement, deux expressions doublement quadratiques et symétriques en æ et y, qui sont égales pour æ—y, ne peuvent différer que par un terme À (x — y)°.
1) Nous profitons de cette occasion pour signaler les corrections suivantes: dans les valeurs de H et de K, formule (7) page 221, il faut remplacer partout Y par — Y, et page 223, ligne 7 en descendant, il faut faire le même changement. Ces corrections ont aussi une légère influence sur les art. V et VI du Mémoire de M. Darboux.
Dès lors, un calcul facile montre que l’on peut écrire la relation (a) sous cette forme
h + mf + (y S — mi) (ù — y) = 0.
Cette forme de l'intégrale de l'équation d’Euler est due à M. Cayley ; Laguerre l’a retrouvée de son côté dans le Bulletin de la Société mathématique de France, t. I.
(Paris, C.-R. Acad. Sci, 107, 1888, 617—618).
Sur l'équation d’Euler,
(Note, présentée par M. Darboux.)
On a représenté déjà de bien des manières l'intégrale générale de l'équation
L'une des formes les plus élégantes semble être celle-ci
0 1 — Ty 1 a a ao — 2 C D: ; L 2 p a UA a» + C ds XY do — 2 C (PS 4
C étant la constante arbitraire. Sous cette forme, on voit directement qu’en déterminant C par l'équation cubique
@o a; ap — 2 C a: ax + © 3 sn à, a — 2C Ga un
c’est-à-dire 4Œ—SC—T—0,
le premier membre de (A) devient un carré, et la relation entre x et y devient de la forme
p+a(x+y)+rxy—=0 ou y=—Piie.
On obtient ainsi les trois substitutions linéaires qui changent en elle-même la différentielle elliptique. Ces substitutions linéaires peuvent s'écrire, par exemple,
1 do di xYy do — 2 C as
Si l’on pose ici x = y, le premier membre devient un polynôme du second degré en x qui ne diffère que par un facteur constant deVHECX,
H = (ag az — a) xt + étant le hessien de X=a +4a 2 +...
L'on voit que, réciproquement, si l’on connaît un polynôme a +2B6x+7 proportionnelà VH+ECX, axy + B(x + y) + y —0 sera l’une des substitutions linéaires qui chan-
gent en elle-même la différentielle elliptique +
(Paris, C.-R. Acad. Sci., 107, 1888, 651—653.)
Sur la réduction de la différentielle elliptique à la forme normale.
(Note, présentée par M. Darboux.)
1. On effectue ordinairement la réduction de la différentielle dx VX" à la forme normale
X=açat + 4a; 2 + 6a,% + 4a,x + a,,
dy Va —Sy—T (où $S et T sont les invariants de X), soit en établissant entre x et y une
équation doublement quadratique, soit à l’aide d’une substitution liné-
id ee of À aire FF TY EE à
On peut présenter cette réduction sous la forme suivante:
L'intégrale générale de l'équation différentielle
D Re Re 6 Mynts vx Vas — Sy—T est 0 4 æ 0 By —2xy 4 0 0 0 — À ( x 0 0 — 2 C 0 (a) = 0, Mt 0 oo ss anis — x C 0 2 (A & |
c étant la constante arbitraire.
