CONSIDÉRATIONS PRÉLIMINAIRES

1. En introduisant dans la différentielle elliptique dx Vaçxt + 4a, 2 + 6a,2? + 4a,x +a,

une nouvelle variable y par la substitution linéaire

ayTÉ.

PVO on obtient un résultat de cette forme dx dy PE me + ra à vx MS 6:

X=açxt +4a. x + 6a,2 +4a;x + a, Y=dy +4, +6by° + 4b3y + b.

Cette transformation a été déjà traitée maintes fois: cependant il nous a paru qu’on ne l'avait pas encore envisagée sous un certain point de vue qui ne semble pas sans intérêt.

Nous préférons écrire la relation entre x et y sous la forme

p+ax+ry+sxy—=0, et il sera quelquefois plus commode d'écrire X et Y sous forme homogène X =açxt +4a, ax +6a, x? + 4a;xx'* +a,x'#, Y =boy" +4b,y°y +6 y y" + +asyy"" + by.

et nous emploierons sans distinction ces formes non homogènes ou homogènes: il faudra toujours supposer dans ces dernières x’ = y" =1.

2, Voici deux remarques qui se présentent immédiatement. On constate d’abord que, si l’on considère les invariants de X T = dod9 44 + 2014943 — 43 — Ao% — Ai &, et les invariants correspondants $’, T’ de Y,ona ET.

C’est là une conséquence immédiate de la propriété caractéristique

des invariants. En effet, la valeur de Y se déduit de celle de X en remplaçant

æ par ay+By", y par 7y+ôy, et en divisant ensuite par (a — By}.

Ainsi l’on a

do d; Qo | | bo b, bo | | 4 @ 03 |=| D b bd | ER | d d& à | | D bg D |

En second lieu, considérons les racines des équations X — 0, Y —0. En les désignant par x, æ, æ3, 4, et Y, Yo, Ya, Ya respectivement, il est clair que

p+qui+ryi+sæiyi=0 (i=1, 2, 8, 4),

et par conséquent le rapport anharmonique des racines de X —0 est égal au rapport anharmonique des racines correspondantes de Y — 0. Si nous désignons, pour abréger, un tel rapport

LL, Li — T4

orne re NT on,

on a (1.2.3.4)=(2.1.4.3)—(3.4.1.9—(4.3.2.1)—1, (.2.4.9—(2.1.8.4—(8.4.2.1)=(4.8.1.9— 7:

01.900841 0 D ELO= US 8 Det (.3.4.9—(2.4.8.D—(8.1.2.4—(4.2.1.9= 5 (.4.2.9—(2.8.1.4—(8.2.4.1)=(4.1.8.9=7 7, (.4.8.9—(2.3.4.)=—(.2.1.4=(4.1.2.9—, À.

Ces six valeurs du rapport anharmonique sont différentes en général ; il n’y a exception que dans les cas suivants.

A. 1——1 (ou —2, ou = +); alors 0 Sc 1—1 1—i="— =2, 1 1 1

B. 1=1+2: (ou —1+2+),« étant une racine cubique imaginaire de l'unité

Il faudrait ajouter le cas 1—0, 1, x, mais ce cas ne peut se pré. senter que lorsque les racines de l'équation X —0 ne sont pas toutes distinctes et nous en ferons abstraction. Dans ces cas exceptionnels le rapport anharmonique peut même devenir tout à fait indéterminé, par exemple, lorsque x, = x, = %3.

3. Nous posons maintenant la question suivante: étant donnés deux polynômes du quatrième degré X, Y, quelles sont les conditions né- Il 10

cessaires et suffisantes pour qu'il soit possible de satisfaire à l'équation différentielle |

ds : dy

x TEVr

par une relation de la forme

p+qgz+ry+sxy—0.

La réponse est presque immédiate. D’après ce qui précède, il est nécessaire certainement que les invariants de X soient égaux aux invariants de Y, mais il est facile à voir que cette condition est aussi suffisante.

En effet, on peut remarquer d’abord que cette égalité des invariants ie aussi l'égalité des rapports nn ns des racines de

— 0 et des racines de Y — 0. |

fait bien connu, nous allons le déduire ici des formules qui donnent la résolution de l'équation X — 0, dont nous aurons besoin encore dans la suite. |

On a d’abord à calculer les racines w/, w’’, w’’’ de l’équation cubique

(5 92 1 0. 4 But-1—0 Ensuite on a à calculer les racines carrées m' —Vai— aa — apu’, (2) +... . . . om — Va — aças —ao0”,

m'’' — Va? — 004 — aou/’;

mais, à cause de la relation (®) -: : . . mn" — 4 (2ai — 3aça; a; + a6 à),

on voit qu'on peut exprimer par exemple m’’’ rationnellement au moyen de »’ et m’.

. Les racines de X —0 sont alors données par les formules do —=— 4 +m +m"+m, 00% —=—4 ‘ à one lee m7, A0%3 = — 4 —<Mm + m’— ml", Al =—<d4 —m —m! + mm".

Ces formules conduisent directement à cette conséquence que les rapports anharmoniques de x,, %, x, 4, s'expriment rationnellement par les racines w/, w’’, w’’”’. En effet, on trouve, par exemple

Re) BA, Énses oe É ES (4.,9,8,4) = TT m2— m2 ou bien | ds w—"#" 1 u—u” ar D tas 7 À É gg ag 7!

uw" — y" 1 uw! — y (5) +". l—i=;; st 7 sul 117 ?

u"—u 1—21 u”’—u 1—1 w”—" 1 mg UCENVT er y FT 7 7.

Or, comme l'équation Y —0 donne lieu à la même équation résolvante en , on voit bien que l'égalité des invariants entraîne l'égalité des rapports anharmoniques.

Ce point étant établi, supposons

Ms st rl 99-91 4, To — Lg MU Vs Vs Ve — Vs

et supposons qu'on détermine les coefficients p, g, r,s dans la relation

(h.. … . . . . . pti trytessse par la condition que, pour XL = X,;, Y —= V1»

TL — Lo, Y — Y; XL —= 3) Y = Ys)

on aura aussi nécessairement, pour Z—=%4, Y = Yy. La substitution (6) donnera alors nécessairement un résultat de cette forme

où c est une constante. Mais maintenant les invariants de cY doivent encore être égaux à ceux de X ou de Y, ce qui donne