CS —=$ (7) ; CT=T
d’où l’on conclut c = + 1.
Nous venons de déterminer les coefficients p, g, r, s (ou plutôt leurs rapports) par la condition de la correspondance des valeurs suivantes de x et de y:
mais, à cause de
LL, Lo, Lg, AL) Y —= Yis Vos Ygs Ya)
il est clair qu’on aurait pu établir les correspondances suivantes :
XL — TL, Los Lg Lys
(I) y — Ye; Yi Ya Ys; (III) ï X — ZX, Lo ; 3, T4) Y — Y3s Yas Vis Yo; (IV) . L— TL, Lo, Lg, Ls; Y — Yas V3» Vos Vi:
Nous obtenons donc le résultat suivant:
Pour qu'il soit possible de satisfaire à l’équation différentielle
par une relation de la forme
p+gx+ry+szy=0, il faut et il suffit que les invariants de X soient égaux aux invariants de Y; et, si cette condition est remplie, il existe toujours quatre relations de cette forme qui satisfont à l'équation différentielle.
On peut nommer ces relations des intégrales linéaires de l'équation différentielle, et notre but principal sera maintenant d'approfondir au point de vue algébrique la détermination de ces intégrales linéaires.
Il faut remarquer, en effet, que, d’après ce qui précède, on peut bien écrire directement ces intégrales linéaires, mais à condition d’avoir résolu d’abord les équations X —0 et Y —0. Les opérations non rationnelles nécessaires pour cela sont d’abord la détermination des trois racines w’, w’’, w’’’ de l'équation cubique en «, et ensuite on a à cal-
culer encore quatre racines carrées.
Mais, comme on vient de reconnaître que le problème admet toujours quatre solutions, la solution doit dépendre d’une seule équation du quatrième degré, et ainsi il doit être possible d'obtenir rationnelle. ment ces intégrales linéaires après avoir calculé les racines d’une équation cubique et deux racines carrées.
Ainsi, au point de vue algébrique, la méthode qui consiste à passer par les racines de X —0, Y —0 n'a pas toute la simplicité possible.
Mais, avant d'aborder le problème que nous venons de poser, il convient de compléter encore par quelques remarques ces considérations préliminaires.
4. Nous avons vu que les rapports anharmoniques des %,, %, 3, % s'expriment rationnellement au moyen des racines w/, w/’, u’’’. Or, dans les formules (4), les racines carrées doivent satisfaire à la relation (3) et par conséquent il est permis de changer à la fois le signe de deux de ces racines carrées. Il est clair qu’un tel changement de signes revient à une certaine permutation des racines x,, &, 4, æ, et l’on conclut maintenant que ces permutations sont précisément celles qui laissent invariable le rapport anharmonique.
Il est facile de trouver directement l’équation du sixième degré qui détermine les rapports anharmoniques. Les coefficients de cette ja di tion sont évidemment des fonctions symétriques de w’, w’’, u’’’ et s’expriment ainsi rationnellement par $S et T.
Les équations (5) donnent facilement
8w —(uw —u”)(1+ 02), Su" =(u —uw")(—2+2), Su"’—={(u —u’)(+ 1— 22), et, en substituant ces expressions dans les relations S——4(uu"+Luu"+Luw), T—= Au’u’u",
il vient
9S= +4 (uw — uw’? x 3(1—1+2),
27T— 4(w—uw’P(1+1)(—2+12)(1— 204); QU Dem E=108; gs U-rderan
