AP

On vérifie directement que le second membre ne change pas en rem- | 1 plaçant À par - ou par 1 —1.

La résolution de cette équation du sixième degré, nous le savons, ne renferme pas de plus grandes difficultés que la résolution d’une équation cubique. En effet, ses racines s’expriment rationnellement au moyen de w’, w/’, w//’; mais, comme l'équation (8) ne renferme que le

RE à : ‘ ‘ 7 :

seul paramètre ;% qui est un invariant absolu, il vaut mieux introduire aussi dans l’équation cubique ce seul paramètre.

Soit donc Su = Tv: il vient

S° #- 4 v” — ge (© + 150, et, en désignant par v’, v’’, v’’’ les racines, on a Ve v' — v’’’ y — y"!

Lorsque l'équation X — 0 admet une racine double, les valeurs du rapport anharmonique sont

ms. Mir : 15 -Dn 0, et ainsi l’équation (8) doit se réduire à Æ(1— 1} = 0.

On voit que cela exige que S5—27T?— 0, et l’on sait en effet que

le discriminant de X est égal à 256 (S3— 27 T2). Comme conséquence, on peut écrire, au lieu de (8),

4(1—A1H XP (1H (2—4P(1—21Y 2741 — 1) S3 ” 27 T? HE. PS Là

5. Considérons maintenant les cas particuliers que nous avons déjà énumérés dans le n°. 2.

À. 1=—1 (ou —2, ou = +):

Dans ce cas on a 4— ;: Il semble donc que, pour transformer au

moyen d’une substitution linéaire = en + nr on puisse employer

non seulement les correspondances (1), (II), (III), (IV) du n°3, mais encore les suivantes :

L—%;, 2, Lg, L;

([) HT His Var Jar ss (IL’) (T—=X, L , La; Ty; y =, Yi Yar Vas (I) 4 (T—= ZX, Lo ; La, T4) y = Yss Yas Yas Vis (LV’) TL, Us Us V4;

Y — Ya) U3) Y1» Y2.

Faut-il en conclure que dans ce cas exceptionnel il existe huit sub-

Na. PE k dx y stitutions linéaires qui transforment == en + vx V°T En effet, l'équation (8) montre qu'on a dans le cas actuel T—0. Mais alors les relations (7) se réduisent à

? Il n’en est rien

Pos,

et l’on peut en conclure seulement c = + 1.

Donc, dans le cas T —0, il n’existe pas seulement quatre intégrales linéaires de l'équation différentielle

dx dy

5 dr à à mais il y en a autant qui donnent

dx dy